Sabcd — правильная четырехугольная пирамида, в которой все рёбра равны a. точка k лежит на ребре sb так что sk:sb = 1:3. найдите угол между прямыми kd и sc.

Угол между прямыми $KD$ и $SC$ составляет $\arccos \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)$ . ️ Шаг 1: Введение системы координат Пусть основание пирамиды $ABCD$ лежит в плоскости $Oxy$, а центр квадрата $ABCD$ находится в начале координат $O(0,0,0)$. Поскольку все рёбра пирамиды равны $a$, диагональ квадрата основания равна $a\sqrt{2}$ , а расстояние от центра до вершин основания — $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ . Высота пирамиды $SO$ находится из прямоугольного треугольника $SOB$: $SO=\sqrt{S{B}^2-O{B}^2}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ Координаты вершин: $S(0,0,\frac{a\sqrt{2}}{2})$ , $B(0,\frac{a\sqrt{2}}{2},0)$ , $C(-\frac{a\sqrt{2}}{2},0,0)$ , $D(0,-\frac{a\sqrt{2}}{2},0)$ . ️ Шаг 2: Определение координат точки K и векторов Точка $K$ лежит на ребре $SB$ так, что $SK:SB=1:3$. Используя формулу деления отрезка в отношении $\lambda =\frac{SK}{KB}=\frac{1}{2}$ : $K=\frac{S+\lambda B}{1+\lambda }=\frac{S+0.5B}{1.5}=\frac{2}{3}S+\frac{1}{3}B$ $K=(0,\frac{a\sqrt{2}}{6},\frac{a\sqrt{2}}{3})$ Найдём направляющие векторы прямых $KD$ и $SC$: $\overrightarrow{KD}=D-K=(0-0,-\frac{a\sqrt{2}}{2}-\frac{a\sqrt{2}}{6},0-\frac{a\sqrt{2}}{3})=(0,-\frac{2a\sqrt{2}}{3},-\frac{a\sqrt{2}}{3})$ $\overrightarrow{SC}=C-S=(-\frac{a\sqrt{2}}{2},0,-\frac{a\sqrt{2}}{2})$ ️ Шаг 3: Вычисление угла Угол $\alpha$ между прямыми находится через скалярное произведение векторов: $\cos \alpha =\frac{|\overrightarrow{KD}\cdot \overrightarrow{SC}|}{\left|\overrightarrow{KD}\right|\cdot \left|\overrightarrow{SC}\right|}$ Скалярное произведение: $\overrightarrow{KD}\cdot \overrightarrow{SC}=0\cdot (-\frac{a\sqrt{2}}{2})+(-\frac{2a\sqrt{2}}{3})\cdot 0+(-\frac{a\sqrt{2}}{3})\cdot (-\frac{a\sqrt{2}}{2})=\frac{2a^2}{6}=\frac{a^2}{3}$ Длины векторов: $\left|\overrightarrow{KD}\right|=\sqrt{0^2+{(-\frac{2a\sqrt{2}}{3})}^2+{(-\frac{a\sqrt{2}}{3})}^2}=\sqrt{\frac{8a^2}{9}+\frac{2a^2}{9}}=\frac{a\sqrt{10}}{3}$ $\left|\overrightarrow{SC}\right|=a\text{(по условию все рёбра равны}a)$Вычисляем косинус: $\cos \alpha =\frac{a^2/3}{\frac{a\sqrt{10}}{3}\cdot a}=\frac{1}{\sqrt{10}}$ Ответ: \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right) или \arccos\left(\frac{\sqrt{10}}{10}\right). Нужно ли вам перевести это значение в градусы или построить сечение пирамиды, проходящее через эти прямые?