Найдите значение выражения: (log₃6/log₁₈3)-(log₃2/log₅₄3)

Для решения данного выражения воспользуемся свойством перехода к новому основанию: ${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$ . Это позволит перенести логарифмы из знаменателей в числители. Исходное выражение $\left(\frac{{\log }_{3}6}{{\log }_{18}3}\right)-\left(\frac{{\log }_{3}2}{{\log }_{54}3}\right)$ Шаг 1: Преобразование знаменателей Используя формулу $\frac{1}{{\log }_{a}b}={\log }_{b}a$ , преобразуем дроби:

1. $\frac{1}{{\log }_{18}3}={\log }_{3}18$ $\frac{1}{{\log }_{54}3}={\log }_{3}54$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение: ${\log }_{3}6\cdot {\log }_{3}18-{\log }_{3}2\cdot {\log }_{3}54$Шаг 2: Разложение логарифмов на слагаемые Разложим числа под знаками логарифмов на множители $2$ и $3$, чтобы упростить вычисления:

• ${\log }_{3}6={\log }_3(2\cdot 3)={\log }_{3}2+{\log }_{3}3={\log }_{\mathbf{3}}\mathbf{2}\mathbf{+}\mathbf{1}$ ${\log }_{3}18={\log }_3(2\cdot 3^2)={\log }_{3}2+2{\log }_{3}3={\log }_{\mathbf{3}}\mathbf{2}\mathbf{+}\mathbf{2}$ ${\log }_{3}54={\log }_3(2\cdot 3^3)={\log }_{3}2+3{\log }_{3}3={\log }_{\mathbf{3}}\mathbf{2}\mathbf{+}\mathbf{3}$

Шаг 3: Подстановка и раскрытие скобок Для удобства введем замену: $x={\log }_{3}2$. Выражение принимает вид: $(x+1)(x+2)-x(x+3)$Раскроем скобки:

1. $(x+1)(x+2)=x^2+2x+x+2=x^2+3x+2$ $x(x+3)=x^2+3x$

Вычтем одно из другого: $(x^2+3x+2)-(x^2+3x)$Шаг 4: Сокращение $x^2+3x+2-x^2-3x=2$Ответ: 2 Я могу помочь с решением других задач по логарифмам или подготовить подборку аналогичных примеров для закрепления материала. Хотите, чтобы я подобрал похожие задачи?