Вычислить производную y=tg^2(x)

Для вычисления производной функции $y={\tan }^2\left(x\right)$ необходимо использовать правило дифференцирования сложной функции. Пошаговое решение

1. Представление функции:
   Данную функцию можно записать в виде $y=(u{)}^2$, где $u=\tan \left(x\right)$. Это сложная функция, где внешней функцией является возведение в квадрат, а внутренней — тангенс. Применение правила дифференцирования сложной функции:
   Согласно правилу, производная $y^{\prime }$ равна производной внешней функции по промежуточному аргументу, умноженной на производную внутренней функции по $x$:
   $y^{\prime }=\frac{d}{dx}\left[u^2\right]=2u\cdot u^{\prime }$ Нахождение производных компонентов:
   • Производная внешней функции: $(u^2{)}^{\prime }=2u=2\tan (x)$. Производная внутренней функции: $\left(\tan \right(x){)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^2\left(x\right)}$ .
   Сборка итогового выражения:
   $y^{\prime }=2\tan \left(x\right)\cdot \frac{1}{{\cos }^2\left(x\right)}$

Упрощение результата Используя тригонометрическое определение $\tan \left(x\right)=\frac{\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)}$ , выражение можно преобразовать для более компактного вида: $y^{\prime }=\frac{2\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)}\cdot \frac{1}{{\cos }^2\left(x\right)}=\frac{2\sin \left(x\right)}{{\cos }^3\left(x\right)}$ Ответ: $y^{\prime }=\frac{2\tan \left(x\right)}{{\cos }^2\left(x\right)}\text{или}{y}^{\prime }=\frac{2\sin \left(x\right)}{{\cos }^3\left(x\right)}$ Я могу также помочь с вычислением производных более сложных тригонометрических функций или нахождением экстремумов этой функции. Хотите продолжить разбор?