Вычислите тангенс пи на 7 умноженное на котангенс пи на 7

Для вычисления выражения $\tan \frac{\pi }{7}\cdot \cot \frac{\pi }{7}$ воспользуемся определениями тригонометрических функций и их фундаментальными тождествами. 1. Определение функций По определению, тангенс и котангенс произвольного угла $\alpha$ выражаются через синус и косинус следующим образом:

• $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$

2. Подстановка и упрощение Подставим данные определения в исходное выражение, где $\alpha =\frac{\pi }{7}$ : $\tan \frac{\pi }{7}\cdot \cot \frac{\pi }{7}=\frac{\sin \frac{\pi }{7}}{\cos \frac{\pi }{7}}\cdot \frac{\cos \frac{\pi }{7}}{\sin \frac{\pi }{7}}$ При умножении этих дробей числители и знаменатели сокращаются:

• $\sin \frac{\pi }{7}$ сокращается с $\sin \frac{\pi }{7}$ $\cos \frac{\pi }{7}$ сокращается с $\cos \frac{\pi }{7}$

3. Основное тригонометрическое тождество Существует общее тригонометрическое тождество для любого угла $\alpha$, при котором функции определены: $\tan \alpha \cdot \cot \alpha =1$Так как значение $\frac{\pi }{7}$ не является точкой, в которой тангенс или котангенс не определены (то есть $\frac{\pi }{7}\ne \frac{\pi n}{2}$ ), данное тождество применимо в полной мере. Ответ: $\tan \frac{\pi }{7}\cdot \cot \frac{\pi }{7}=1$ Хотите, чтобы я помог вам разобрать решение других тригонометрических выражений или упростить более сложную формулу?