Y=(x+2)^2 * e^3-x - найдите точку максимума функции!

Для нахождения точки максимума функции $y=(x+2{)}^2\cdot e^{3-x}$ воспользуемся стандартным алгоритмом исследования функции с помощью производной. 1. Нахождение производной функции Функция представляет собой произведение двух выражений: $u=(x+2{)}^2$ и $v=e^{3-x}$. Используем формулу производной произведения $(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$.

1. Вычислим производную первой части:
   $u^{\prime }=\left(\right(x+2{)}^2{)}^{\prime }=2(x+2)\cdot (x+2{)}^{\prime }=2(x+2)$ Вычислим производную второй части (сложная функция):
   $v^{\prime }=(e^{3-x}{)}^{\prime }=e^{3-x}\cdot (3-x{)}^{\prime }=e^{3-x}\cdot \left(-1\right)=-e^{3-x}$

Теперь соберем производную функции $y$: $y^{\prime }=2(x+2)\cdot e^{3-x}+(x+2{)}^2\cdot (-e^{3-x})$2. Упрощение выражения производной Для поиска критических точек вынесем общие множители $(x+2)$ и $e^{3-x}$ за скобки: $y^{\prime }=e^{3-x}\cdot (x+2)\cdot [2-(x+2\left)\right]$ $y^{\prime }=e^{3-x}\cdot (x+2)\cdot (2-x-2)$ $y^{\prime }=e^{3-x}\cdot (x+2)\cdot (-x)$ $y^{\prime }=-x(x+2)e^{3-x}$3. Поиск критических точек Приравняем производную к нулю: $-x(x+2)e^{3-x}=0$Так как $e^{3-x}$ всегда больше нуля для любого $x$, уравнение распадается на два:

1. $-x=0{\mathbf{x}}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{0}$ $x+2=0{\mathbf{x}}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}-2$

4. Определение точки максимума Проверим знаки производной на промежутках, используя метод интервалов:

• Интервал $(-\infty ;-2)$: Возьмем $x=-3$.
  $y^{\prime }\left(-3\right)=-\left(-3\right)(-3+2)e^{3-\left(-3\right)}=3\cdot \left(-1\right)\cdot e^6<0$. Функция убывает. Интервал $(-2;0)$: Возьмем $x=-1$.
  $y^{\prime }\left(-1\right)=-\left(-1\right)(-1+2)e^{3-\left(-1\right)}=1\cdot 1\cdot e^4>0$. Функция возрастает. Интервал $(0;+\infty )$: Возьмем $x=1$.
  $y^{\prime }\left(1\right)=-\left(1\right)(1+2)e^{3-1}=-3e^2<0$. Функция убывает.

Точка максимума — это значение $x$, при котором производная меняет знак с плюса на минус. Это происходит в точке $x=0$. Ответ: 0 Я могу также вычислить значение функции в этой точке или найти точки экстремума для похожих функций. Хотите, чтобы я это сделал?