Y=x^3+3x^2-4 найти промежутки точки экстремума наибольшее и меньшее значение функции (-4:1)

Для функции $f\left(x\right)=x^3+3x^2-4$ на отрезке $[-4,1]$ точками экстремума являются $x=-2$ (максимум) и $x=0$ (минимум), функция возрастает на $[-4,-2]$ и $[0,1]$, убывает на $[-2,0]$, а наибольшее и наименьшее значения равны 0 и -20 соответственно. ️ Шаг 1: Нахождение производной и критических точек Для исследования функции на монотонность и экстремумы найдем её производную: $f^{\prime }\left(x\right)=(x^3+3x^2-4{)}^{\prime }=3x^2+6x$Приравняем производную к нулю для поиска критических точек: $3x^2+6x=0$ $3x(x+2)=0$Отсюда получаем две критические точки: $x_1=0$ и $x_2=-2$. Обе точки принадлежат рассматриваемому интервалу $[-4,1]$. ️ Шаг 2: Определение промежутков монотонности и точек экстремума Определим знаки производной $f^{\prime }\left(x\right)=3x(x+2)$ на интервалах:

1. На интервале $(-4,-2)$: $f^{\prime }\left(-3\right)=3\left(-3\right)\left(-1\right)=9>0$ — функция возрастает. На интервале $(-2,0)$: $f^{\prime }\left(-1\right)=3\left(-1\right)\left(1\right)=-3<0$ — функция убывает. На интервале $(0,1)$: $f^{\prime }\left(0.5\right)=3\left(0.5\right)\left(2.5\right)=3.75>0$ — функция возрастает.

Точки экстремума:

• В точке $x=-2$ знак производной меняется с $+$ на $-$, это точка локального максимума. В точке $x=0$ знак производной меняется с $-$ на $+$, это точка локального минимума.

️ Шаг 3: Нахождение наибольшего и наименьшего значений Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка $[-4,1]$:

1. $f\left(-4\right)=(-4{)}^3+3(-4{)}^2-4=-64+48-4=-20$ $f\left(-2\right)=(-2{)}^3+3(-2{)}^2-4=-8+12-4=0$ $f\left(0\right)=0^3+3(0{)}^2-4=-4$ $f\left(1\right)=1^3+3(1{)}^2-4=1+3-4=0$

Сравнивая результаты, получаем:

• Наибольшее значение: $f_{max}=0$ (достигается при $x=-2$ и $x=1$). Наименьшее значение: $f_{min}=-20$ (достигается при $x=-4$).

Ответ: Промежутки возрастания: [-4, -2] и [0, 1]; промежуток убывания: [-2, 0]. Точки экстремума: $x_{max}=-2$, $x_{min}=\mathbf{0}$. Наибольшее значение функции на отрезке равно 0, наименьшее значение равно -20. Нужно ли построить график этой функции для визуализации полученных точек и интервалов?