Решите тригонометрическое уравнение: 4cos(^2) x-8cos x+3=0

Для решения уравнения $4{\cos }^{2}x-8\cos x+3=0$ воспользуемся методом введения новой переменной. 1. Введение замены Пусть $t=\cos x$. Учитывая область значений функции косинус, наложим ограничение на новую переменную: $\left|t\right|\le 1$ (или $-1\le t\le 1$). 2. Решение квадратного уравнения Подставим $t$ в исходное уравнение: $4t^2-8t+3=0$Найдем дискриминант по формуле $D=b^2-4ac$: $D=(-8{)}^2-4\cdot 4\cdot 3=64-48=16$ $\sqrt{D}=4$ Находим корни уравнения $t_1$ и $t_2$:

• $t_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{8+4}{2\cdot 4}=\frac{12}{8}=1,5$ $t_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{8-4}{2\cdot 4}=\frac{4}{8}=0,5$

3. Анализ корней и обратная замена Проверим корни на соответствие условию $\left|t\right|\le 1$:

• $t_1=1,5$ — не подходит, так как $1,5>1$. Уравнение $\cos x=1,5$ не имеет решений. $t_2=0,5$ — подходит.

Решим простейшее тригонометрическое уравнение: $\cos x=0,5$ $\cos x=\frac{1}{2}$ Используя общую формулу для косинуса $x=\pm \arccos \left(a\right)+2\pi n$: $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Ответ: $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Хотите, чтобы я отобрал корни этого уравнения на конкретном числовом промежутке?