Найти производные функций, заданных неявно: x^3+y^3-3axy=0 y^3-3y+2ax=0

Для данных функций, заданных неявно, производные имеют вид: $y^{\prime }=\frac{ay-x^2}{y^2-ax}$ для первого уравнения и $y^{\prime }=\frac{2a}{3(1-y^2)}$ для второго. ️ Шаг 1: Дифференцирование первого уравнения Для нахождения производной функции $x^3+y^3-3axy=0$ применим оператор дифференцирования $\frac{d}{dx}$ к обеим частям уравнения, учитывая, что $y$ является функцией от $x$: $\frac{d}{dx}\left(x^3\right)+\frac{d}{dx}\left(y^3\right)-\frac{d}{dx}\left(3axy\right)=0$ Используя правило производной сложной функции и производной произведения, получаем: $3x^2+3y^2{y}^{\prime }-3a(y+x{y}^{\prime })=0$Разделим всё уравнение на $3$ и раскроем скобки: $x^2+y^2{y}^{\prime }-ay-ax{y}^{\prime }=0$️ Шаг 2: Выражение производной первого уравнения Сгруппируем слагаемые, содержащие $y^{\prime }$, в левой части, а остальные перенесем в правую: $y^{\prime }(y^2-ax)=ay-x^2$Разделив на коэффициент при $y^{\prime }$, находим окончательный вид производной: $y^{\prime }=\frac{ay-x^2}{y^2-ax}$ ️ Шаг 3: Дифференцирование второго уравнения Рассмотрим уравнение $y^3-3y+2ax=0$. Дифференцируем по $x$: $\frac{d}{dx}\left(y^3\right)-\frac{d}{dx}\left(3y\right)+\frac{d}{dx}\left(2ax\right)=0$ $3y^2{y}^{\prime }-3y^{\prime }+2a=0$Здесь мы снова использовали правило дифференцирования сложной функции для переменной $y$. ️ Шаг 4: Выражение производной второго уравнения Вынесем $y^{\prime }$ за скобки: $y^{\prime }(3y^2-3)=-2a$Выразим $y^{\prime }$: $y^{\prime }=\frac{-2a}{3y^2-3}$ Для упрощения знака в знаменателе можно записать как: $y^{\prime }=\frac{2a}{3(1-y^2)}$ Ответ:

1. Для $x^3+y^3-3axy=0$: $y^{\prime }=\frac{\mathbf{a}\mathbf{y}\mathbf{-}{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}{{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{a}\mathbf{x}}$ Для $y^3-3y+2ax=0$: $y^{\prime }=\frac{\mathbf{2}\mathbf{a}}{\mathbf{3}\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{-}{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}\mathbf{)}}$

Требуется ли вам найти вторые производные для этих функций или выполнить проверку в конкретных точках?