Записать комплексное число в алгебраической и триганометрической формах: √2*е^(3*(число пи)/4)*i

Для записи комплексного числа в различных формах воспользуемся исходными данными: модуль числа $r=\sqrt{2}$ и аргумент $\phi =\frac{3\pi }{4}$ . 1. Тригонометрическая форма Тригонометрическая форма комплексного числа записывается как $z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$. Подставим значения: $z=\sqrt{2}(\cos \frac{3\pi }{4}+i\sin \frac{3\pi }{4})$ 2. Алгебраическая форма Чтобы перейти к алгебраической форме $z=a+bi$, необходимо вычислить значения тригонометрических функций для угла $\frac{3\pi }{4}$ (это ${135}^{\circ }$, вторая четверть):

• $\cos \frac{3\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\sin \frac{3\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь подставим эти значения в выражение и раскроем скобки: $z=\sqrt{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2})$ Выполним умножение:

1. Действительная часть: $\sqrt{2}\cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})=-\frac{2}{2}=-1$ Мнимая часть: $\sqrt{2}\cdot \left(i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=i\frac{2}{2}=1i$

Алгебраическая форма: $z=-1+i$Итоговый результат:

• Тригонометрическая форма: $z=\sqrt{2}(\cos \frac{3\pi }{4}+i\sin \frac{3\pi }{4})$ Алгебраическая форма: $z=-1+i$

Я могу также возвести это число в любую степень по формуле Муавра или извлечь из него корень, если это потребуется для вашей задачи.