1) a) sin x=1/2 6) cos x=-1/2 b) sin x =√2/2 r) cos x =√3/2 д) tg x =√3/3 e) tg x=1 *) ctg x=-√3/3 2) a) sin 2x=-1/2 6) cos x/3 =-1/2 3) a) sin(x/3-π/5)=√3/2 6) tg(3x+π/3)=-√3/3

Шаг 1: Решение простейших уравнений Для решения уравнений вида $\sin x=a$, $\cos x=a$, $\tan x=a$ и $\cot x=a$ используются стандартные табличные значения и общие формулы корней:

• 1а) $\sin x=1/2⟹x=\left(-1{)}^k\arcsin \right(1/2)+\pi k⟹x=(-1{)}^k\frac{\pi }{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ 1б) $\cos x=-1/2⟹x=\pm \arccos (-1/2)+2\pi n⟹x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$ 1в) $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}⟹x=(-1{)}^k\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ 1г) $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}⟹x=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$ 1д) $\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}⟹x=\arctan \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)+\pi k⟹x=\frac{\pi }{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ 1е) $\tan x=1⟹x=\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ 1ж) $\cot x=-\frac{\sqrt{3}}{3}⟹x=\text{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3})+\pi k⟹x=\frac{2\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$

Шаг 2: Решение уравнений с преобразованным аргументом При наличии множителя перед $x$ сначала находим значение всего аргумента, а затем выражаем $x$:

• 2а) $\sin 2x=-1/2⟹2x=(-1{)}^{k+1}\frac{\pi }{6}+\pi k$ . Делим на 2: $x=(-1{)}^{k+1}\frac{\pi }{12}+\frac{\pi k}{2},k\in \mathbb{Z}$ 2б) $\cos \frac{x}{3}=-1/2⟹\frac{x}{3}=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n$ . Умножаем на 3: $x=\pm 2\pi +6\pi n,n\in \mathbb{Z}$

Шаг 3: Решение уравнений со смещением и множителем Решаем относительно выражения в скобках, затем переносим константу и делим на коэффициент:

• 3а) $\sin (\frac{x}{3}-\frac{\pi }{5})=\frac{\sqrt{3}}{2}⟹\frac{x}{3}-\frac{\pi }{5}=(-1{)}^k\frac{\pi }{3}+\pi k⟹\frac{x}{3}=\frac{\pi }{5}+(-1{)}^k\frac{\pi }{3}+\pi k⟹x=\frac{3\pi }{5}+(-1{)}^k\pi +3\pi k,k\in \mathbb{Z}$ 3б) $\tan (3x+\frac{\pi }{3})=-\frac{\sqrt{3}}{3}⟹3x+\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{6}+\pi k⟹3x=-\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{3}+\pi k⟹3x=-\frac{\pi }{2}+\pi k⟹x=-\frac{\pi }{6}+\frac{\pi k}{3},k\in \mathbb{Z}$

Ответ:

1. а) $x=(-1{)}^k\frac{\pi }{6}+\pi k$ ; б) $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n$ ; в) $x=(-1{)}^k\frac{\pi }{4}+\pi k$ ; г) $x=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi n$ ; д) $x=\frac{\pi }{6}+\pi k$ ; е) $x=\frac{\pi }{4}+\pi k$ ; ж) $x=\frac{2\pi }{3}+\pi k$
2. а) $x=(-1{)}^{k+1}\frac{\pi }{12}+\frac{\pi k}{2}$ ; б) $x=\pm 2\pi +6\pi n$
3. а) $x=\frac{3\pi }{5}+(-1{)}^k\pi +3\pi k$ ; б) $x=-\frac{\pi }{6}+\frac{\pi k}{3}$

Нужно ли разобрать алгоритм выбора корней на определенном числовом промежутке для этих уравнений?