Найдите точку максимума функции y = x ^ 3 - 75x + 11

Точка максимума функции $y=x^3-75x+11$ равна $-5$. ️ Шаг 1: Нахождение производной функции Для исследования функции на экстремумы необходимо найти её производную. Используем правила дифференцирования степенной функции: $y^{\prime }=(x^3-75x+11{)}^{\prime }=3x^2-75$️ Шаг 2: Нахождение критических точек Приравняем производную к нулю, чтобы найти точки, в которых наклон касательной равен нулю (критические точки): $3x^2-75=0$ $3x^2=75$ $x^2=25$ $x_1=5,x_2=-5$️ Шаг 3: Определение точки максимума Чтобы определить характер точек, проанализируем знак производной на числовой прямой или вычислим вторую производную: $y^{\prime \prime }=(3x^2-75{)}^{\prime }=6x$ Подставим критические точки во вторую производную:

1. При $x=5$: $y^{\prime \prime }\left(5\right)=6\cdot 5=30>0$. Это точка минимума. При $x=-5$: $y^{\prime \prime }\left(-5\right)=6\cdot \left(-5\right)=-30<0$. Согласно достаточному условию экстремума, если вторая производная отрицательна, то это точка максимума.

Ответ: Точка максимума $x=-5$. Требуется ли вам найти максимальное значение функции в этой точке или исследовать её на определенном промежутке?