Если производная функции  � ( � ) f(x) на некотором промежутке  � x равна, то функция  � ( � ) f(x) на промежутке  � x...

В математическом анализе поведение функции $f\left(x\right)$ напрямую зависит от знака её производной $f^{\prime }\left(x\right)$ на заданном промежутке. Ниже приведены основные сценарии в зависимости от значения производной. 1. Если производная положительна ( $f^{\prime }\left(x\right)>0$) Если во всех точках промежутка производная больше нуля, то функция монотонно возрастает. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции:

Для любых $x_1,x_2$, если $x_2>x_1$, то $f\left(x_2\right)>f\left(x_1\right)$.

2. Если производная отрицательна ( $f^{\prime }\left(x\right)<0$) Если во всех точках промежутка производная меньше нуля, то функция монотонно убывает. В этом случае при увеличении аргумента значение функции уменьшается:

Для любых $x_1,x_2$, если $x_2>x_1$, то $f\left(x_2\right)<f\left(x_1\right)$.

3. Если производная равна нулю ( $f^{\prime }\left(x\right)=0$) Согласно теореме Лагранжа, если производная функции на всем промежутке тождественно равна нулю, то функция является постоянной (константой):

$f\left(x\right)=C$, где $C$ — некоторое вещественное число.

4. Если производная не сохраняет знак Если на промежутке есть точки, где производная меняет знак, то функция называется немонотонной. В точках, где производная равна нулю или не существует (при условии непрерывности самой функции), могут находиться критические точки:

• Точка максимума: производная меняет знак с «+» на «-».
• Точка минимума: производная меняет знак с «-» на «+».

Резюме: Поведение функции определяется знаком производной. Если производная положительна, функция растет; если отрицательна — убывает; если равна нулю — сохраняет постоянное значение. Хотите, чтобы я разобрал конкретный пример функции и определил промежутки её возрастания и убывания?