Логарифмические уравнения. решите уравнения: a) log2 (x-1)=3 b) log8 (x+1)= log8 (2x-5) в) log3 (x2+3x-9)= log3 (2x+3) г) log5 3+log5(x-3)=log5 12 д) log3 (x+1)+log3(x-2)=log3 4 e) log4-2 x-2log4 x-3=0

Решениями данных уравнений являются: а) x = 9; б) x = 6; в) x = 3; г) x = 7; д) x = 3; е) x = 64 и x = 0,25. ️ Шаг 1: Решение уравнения а) ${\log }_2(x-1)=3$ По определению логарифма: $x-1=2^3$ $x-1=8$ $x=9$ Проверка: $9-1=8>0$ (условие существования логарифма выполняется). ️ Шаг 2: Решение уравнения б) ${\log }_8(x+1)={\log }_8(2x-5)$ ОДЗ: $x+1>0$ и $2x-5>0$, откуда $x>2,5$. Приравниваем аргументы: $x+1=2x-5$ $2x-x=1+5$ $x=6$ Число $6$ входит в ОДЗ. ️ Шаг 3: Решение уравнения в) ${\log }_3(x^2+3x-9)={\log }_3(2x+3)$ ОДЗ: $2x+3>0⟹x>-1,5$. Приравниваем аргументы: $x^2+3x-9=2x+3$ $x^2+x-12=0$ Корни по теореме Виета: $x_1=-4$, $x_2=3$. Проверка по ОДЗ: $x=-4$ не подходит ( $-4<-1,5$). $x=3$ подходит ( $3>-1,5$). ️ Шаг 4: Решение уравнения г) ${\log }_{5}3+{\log }_5(x-3)={\log }_{5}12$ ОДЗ: $x-3>0⟹x>3$. Используем свойство суммы логарифмов: ${\log }_5\left(3\right(x-3\left)\right)={\log }_{5}12$ $3(x-3)=12$ $x-3=4$ $x=7$ Число $7$ входит в ОДЗ. ️ Шаг 5: Решение уравнения д) ${\log }_3(x+1)+{\log }_3(x-2)={\log }_{3}4$ ОДЗ: $x>2$. Преобразуем левую часть: ${\log }_3\left(\right(x+1\left)\right(x-2\left)\right)={\log }_{3}4$ $(x+1)(x-2)=4$ $x^2-x-2-4=0$ $x^2-x-6=0$ Корни: $x_1=3$, $x_2=-2$. Проверка по ОДЗ: $x=-2$ не подходит. Подходит только $x=3$. ️ Шаг 6: Решение уравнения е) ${\log }_4^{2}x-2{\log }_{4}x-3=0$ ОДЗ: $x>0$. Введем замену $t={\log }_{4}x$: $t^2-2t-3=0$ По теореме Виета корни: $t_1=3,t_2=-1$. Вернемся к замене:

1. ${\log }_{4}x=3⟹x=4^3=64$ ${\log }_{4}x=-1⟹x=4^{-1}=0,25$
   Оба корня положительны.

Ответ: а) x = 9; б) x = 6; в) x = 3; г) x = 7; д) x = 3; е) x_1 = 64, x_2 = 0,25. Нужны ли вам дополнительные примеры на применение свойств логарифмов или разбор более сложных неравенств?