125^(1/3)-(1/16)^(-1/4)

Для решения данного выражения разберем каждую его часть по отдельности, используя свойства степеней и корней. 1. Вычисление первого слагаемого: ${125}^{1/3}$ Степень $1/3$ эквивалентна извлечению кубического корня ( $\sqrt[3]{x}$ ). Нам нужно найти число, которое при возведении в третью степень даст $125$.

• Заметим, что $5\cdot 5\cdot 5=125$. Следовательно, $125=5^3$. ${125}^{1/3}=(5^3{)}^{1/3}=5^{3\cdot \frac{1}{3}}=5^1=\mathbf{5}$ .

2. Вычисление второго слагаемого: $(1/16{)}^{-1/4}$ Здесь необходимо применить два правила работы со степенями:

1. Отрицательный показатель: $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ (или $(\frac{a}{b}{)}^{-n}=(\frac{b}{a}{)}^n$ ). Дробный показатель: $a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$ .

Шаг А. Избавляемся от отрицательной степени: ${\left(\frac{1}{16}\right)}^{-1/4}={\left(\frac{16}{1}\right)}^{1/4}={16}^{1/4}$ Шаг Б. Извлекаем корень четвертой степени: Нам нужно найти число, которое при возведении в четвертую степень даст $16$.

• Заметим, что $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16$. Следовательно, $16=2^4$. ${16}^{1/4}=(2^4{)}^{1/4}=2^{4\cdot \frac{1}{4}}=2^1=\mathbf{2}$ .

3. Окончательный расчет Теперь подставим полученные значения в исходное выражение: ${125}^{1/3}-{\left(\frac{1}{16}\right)}^{-1/4}=5-2=3$ Ответ: 3 Если вам интересно, я могу составить для вас несколько аналогичных примеров для закрепления навыков работы с дробными и отрицательными степенями.