1)arcsin корень из 2/2 2)π/3 arccos корнь из 3/2 3)arccos(-корень из 3/2) 4)sin(arcsin 2/3) 5)cos(arccos 3/4)

Ответы на выражения: 1) $\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{4}}$ , 2) $\frac{{\mathbf{\pi }}^{\mathbf{2}}}{18}$ , 3) $\frac{\mathbf{5}\mathbf{\pi }}{\mathbf{6}}$ , 4) $\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}$ , 5) $\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}}$ . ️ Шаг 1: Вычисление табличных значений арксинуса и арккосинуса Для нахождения значений обратных тригонометрических функций необходимо определить угол в пределах области их значений, синус или косинус которого равен заданному числу.

1. Для $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}$ : ищем угол $x\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ , такой что $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ . Это табличное значение:
   $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi }{4}$ Для $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}$ : ищем угол $x\in [0,\pi ]$, такой что $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ . Это соответствует:
   $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{6}$ Затем вычисляем произведение: $\frac{\pi }{3}\cdot \frac{\pi }{6}=\frac{{\pi }^2}{18}$ .

️ Шаг 2: Работа с отрицательным аргументом и композицией функций

1. Для $\arccos (-\frac{\sqrt{3}}{2})$ используем свойство $\arccos (-x)=\pi -\arccos x$:
   $\arccos (-\frac{\sqrt{3}}{2})=\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$ Для выражений вида $f\left(f^{-1}\right(x\left)\right)$ используем основное тождество $\sin \left(\arcsin x\right)=x$ и $\cos \left(\arccos x\right)=x$, которое справедливо, если $x$ входит в область определения арксинуса и арккосинуса (интервал $[-1,1]$):
   • В пункте 4: $x=\frac{2}{3}\in [-1,1]$ , следовательно $\sin \left(\arcsin \frac{2}{3}\right)=\frac{2}{3}$ . В пункте 5: $x=\frac{3}{4}\in [-1,1]$ , следовательно $\cos \left(\arccos \frac{3}{4}\right)=\frac{3}{4}$ .

Ответ:

1. $\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{4}}$ $\frac{{\mathbf{\pi }}^{\mathbf{2}}}{18}$ $\frac{\mathbf{5}\mathbf{\pi }}{\mathbf{6}}$ $\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}$ $\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}}$

Требуются ли вам дополнительные пояснения по свойствам обратных тригонометрических функций или вычислению их отрицательных аргументов?