2. найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости графика функции а) y (x) = x5 - 5x4 +9х.

График функции $y\left(x\right)=x^5-5x^4+9x$ является выпуклым на интервале $(-\infty ,3)$, вогнутым на интервале $(3,+\infty )$, а единственной точкой перегиба является $(3,-135)$. ️ Шаг 1: Нахождение второй производной Для исследования графика на выпуклость, вогнутость и нахождения точек перегиба необходимо найти вторую производную функции. Сначала вычислим первую производную: $y^{\prime }\left(x\right)=(x^5-5x^4+9x{)}^{\prime }=5x^4-20x^3+9$ Теперь найдем вторую производную: $y^{\prime \prime }\left(x\right)=(5x^4-20x^3+9{)}^{\prime }=20x^3-60x^2$ ️ Шаг 2: Нахождение критических точек второй производной Приравняем вторую производную к нулю для поиска точек, в которых может происходить перегиб: $20x^3-60x^2=0$ $20x^2(x-3)=0$ Отсюда получаем корни: $x_1=0$ $x_2=3$ ️ Шаг 3: Анализ интервалов выпуклости и вогнутости Определим знаки $y^{\prime \prime }\left(x\right)$ на полученных интервалах:

1. На интервале $(-\infty ,0)$: выберем $x=-1$. $y^{\prime \prime }\left(-1\right)=20\left(-1{)}^2\right(-1-3)=-80<0$. Функция выпуклая (вверх). На интервале $(0,3)$: выберем $x=1$. $y^{\prime \prime }\left(1\right)=20\left(1{)}^2\right(1-3)=-40<0$. Функция выпуклая (вверх). На интервале $(3,+\infty )$: выберем $x=4$. $y^{\prime \prime }\left(4\right)=20\left(4{)}^2\right(4-3)=320>0$. Функция вогнутая (выпуклая вниз).

️ Шаг 4: Определение точек перегиба Точка перегиба существует там, где вторая производная меняет знак.

• В точке $x=0$ знак $y^{\prime \prime }\left(x\right)$ не меняется (минус на минус), следовательно, это не точка перегиба. В точке $x=3$ знак меняется с минуса на плюс, это точка перегиба.
  Вычислим координату $y$ для $x=3$:
  $y\left(3\right)=3^5-5\cdot 3^4+9\cdot 3=243-405+27=-135$

Ответ: Интервалы выпуклости: $(-\infty ,3)$ Интервалы вогнутости: $(3,+\infty )$ Точка перегиба: $(3,-135)$ Нужно ли вам найти также экстремумы и интервалы монотонности для этой функции?