Lg(3х вкадрате + 12х + 19) - lg (3х+4)=1

Для решения уравнения $\lg (3x^2+12x+19)-\lg (3x+4)=1$ воспользуемся свойствами логарифмов и определением десятичного логарифма ( $\lg a={\log }_{10}a$). 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

1. $3x^2+12x+19>0$
   Дискриминант $D={12}^2-4\cdot 3\cdot 19=144-228=-84$. Так как $D<0$ и коэффициент при $x^2$ положителен, выражение всегда больше нуля. $3x+4>0⟹3x>-4⟹x>-\frac{4}{3}$

ОДЗ: $x\in (-1.33,+\infty )$ 2. Преобразование уравнения Используем свойство разности логарифмов: $\lg a-\lg b=\lg \left(\frac{a}{b}\right)$ . $\lg \left(\frac{3x^2+12x+19}{3x+4}\right)=1$ По определению логарифма ( $1=\lg 10$), переходим к рациональному уравнению: $\frac{3x^2+12x+19}{3x+4}=10$ 3. Решение рационального уравнения Умножим обе части на $(3x+4)$, учитывая, что по ОДЗ это выражение не равно нулю: $3x^2+12x+19=10(3x+4)$ $3x^2+12x+19=30x+40$Перенесем все члены в левую часть: $3x^2+12x-30x+19-40=0$ $3x^2-18x-21=0$Разделим всё уравнение на 3 для упрощения: $x^2-6x-7=0$4. Нахождение корней Воспользуемся теоремой Виета или формулой дискриминанта: $D=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot (-7)=36+28=64$ $x=\frac{6\pm \sqrt{64}}{2}=\frac{6\pm 8}{2}$

• $x_1=\frac{14}{2}=7$ $x_2=\frac{-2}{2}=-1$

5. Проверка по ОДЗ Проверим полученные корни на соответствие условию $x>-1.33$:

• $7>-1.33$ (Подходит) $-1>-1.33$ (Подходит)

Ответ: $-1;7$ Могу ли я помочь с решением других логарифмических уравнений или систем?