Укажите при каких значениях х функция f x имеет производную, и найдите эту производную , если f(x)=cos^23x-sin^23x

Для нахождения производной функции $f\left(x\right)={\cos }^2\left(3x\right)-{\sin }^2\left(3x\right)$ целесообразно сначала упростить выражение, используя тригонометрические тождества. 1. Упрощение функции Данное выражение представляет собой классическую формулу косинуса двойного аргумента: ${\cos }^2\left(\alpha \right)-{\sin }^2\left(\alpha \right)=\cos \left(2\alpha \right)$В нашем случае $\alpha =3x$, следовательно: $f\left(x\right)=\cos (2\cdot 3x)=\cos \left(6x\right)$2. Область существования производной Функция $f\left(x\right)=\cos \left(6x\right)$ является элементарной тригонометрической функцией. Косинус определен и непрерывен на всей числовой прямой, а его аргумент ( $6x$) является линейной функцией. Следовательно, функция $f\left(x\right)$ дифференцируема при любых действительных значениях $x$. Ответ: $x\in (-\infty ;+\infty )$ (или $x\in \mathbb{R}$). 3. Нахождение производной Для вычисления производной воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции: $\left(f\right(g\left(x\right)){)}^{\prime }=f^{\prime }(g\left(x\right))\cdot g^{\prime }(x)$

1. Внешняя функция: $\cos \left(u\right)$, её производная равна $-\sin \left(u\right)$. Внутренняя функция: $u=6x$, её производная равна $6$.

$f^{\prime }\left(x\right)=\left(\cos \right(6x){)}^{\prime }=-\sin (6x)\cdot (6x{)}^{\prime }$ $f^{\prime }\left(x\right)=-6\sin \left(6x\right)$Итоговый результат

• Значения $x$, при которых существует производная: все $x\in \mathbb{R}$. Производная функции: $f^{\prime }\left(x\right)=-6\sin \left(6x\right)$.

Я могу также разложить это выражение обратно через функции двойного угла или вычислить значение производной в конкретной точке, если это потребуется.