25^x - 6*5^x + 5 = 0

Для решения уравнения ${25}^x-6\cdot 5^x+5=0$ воспользуемся методом введения новой переменной. 1. Преобразование уравнения Заметим, что ${25}^x$ можно представить как $(5^2{)}^x$, что равнозначно $(5^x{)}^2$. Перепишем исходное уравнение: $(5^x{)}^2-6\cdot 5^x+5=0$2. Замена переменной Пусть $5^x=t$. Поскольку показательная функция всегда принимает положительные значения, введем ограничение: $t>0$. Теперь уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$: $t^2-6t+5=0$3. Решение квадратного уравнения Для поиска корней можно воспользоваться дискриминантом ( $D$) или теоремой Виета. Через дискриминант: $D=b^2-4ac=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 5=36-20=16$ $\sqrt{D}=4$ Находим корни:

• $t_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{6+4}{2}=\frac{10}{2}=5$ $t_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{6-4}{2}=\frac{2}{2}=1$

Оба значения удовлетворяют условию $t>0$. 4. Обратная замена Теперь вернемся к переменной $x$, подставив найденные значения $t$.

1. При $t_1=5$:
   $5^x=5$
   $5^x=5^1$
   $x_1=1$ При $t_2=1$:
   $5^x=1$
   Так как любое число в нулевой степени (кроме нуля) равно 1 ( $5^0=1$):
   $5^x=5^0$
   $x_2=0$

Ответ: $x_1=0,x_2=1$. Я могу составить для вас аналогичные задачи для закрепления темы или помочь с решением системы показательных уравнений. Хотите попробовать? Good response Bad response