4. определение параллельных плоскостей. признак параллельности двух плоскостей. 5. определение перпендикулярных прямых в пространстве. признак перпендикулярности прямой и плоскости (формулировка). теорема о трех перпендикулярах. 6. угол между прямой и плоскостью. расстояние от точки до плоскости. двугранный угол. признак перпендикулярности двух плоскостей. 7. прямоугольный параллелепипед. свойства прямоугольного параллелепипеда. вывод формулы для вычисления диагонали прямоугольного параллелепипеда. 8. призма. теорема о площади боковой поверхности прямой призмы. пирамида. усеченная пирамида. формула о площади боковой поверхности правильной пирамиды.

4. Параллельные плоскости Определение Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек. Признак параллельности двух плоскостей Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. 5. Перпендикулярность в пространстве Определение перпендикулярных прямых Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°. При этом прямые могут как пересекаться, так и быть скрещивающимися. Признак перпендикулярности прямой и плоскости Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. Теорема о трех перпендикулярах Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной. (Справедлива и обратная теорема: если прямая в плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и ее проекции). 6. Углы и расстояния Угол между прямой и плоскостью Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Если прямая перпендикулярна плоскости, угол считается равным 90°, если параллельна — 0°. Расстояние от точки до плоскости Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость. Двугранный угол Двугранным углом называется фигура, образованная прямой $a$ (ребро) и двумя полуплоскостями с общей границей $a$ (грани). Измеряется линейным углом, который образуется при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру. Признак перпендикулярности двух плоскостей Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. 7. Прямоугольный параллелепипед Определение Прямоугольный параллелепипед — это прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник. У него все грани — прямоугольники. Свойства

• В прямоугольном параллелепипеде все четыре диагонали равны.
• Квадрат диагонали равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины и высоты).

Вывод формулы диагонали Пусть измерения параллелепипеда равны $a$, $b$ и $c$.

1. Рассматриваем прямоугольный треугольник в основании со сторонами $a$ и $b$. По теореме Пифагора квадрат его диагонали $d_1^2=a^2+b^2$. Диагональ параллелепипеда $d$ является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого служат $d_1$ и высота $c$. По теореме Пифагора:
   $d^2=d_1^2+c^2$ Подставляя выражение для $d_1^2$, получаем:
   $d^2=a^2+b^2+c^{2}d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

8. Призма и пирамида Призма и площадь ее поверхности Прямая призма — это призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований. Теорема: Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы: $S_{бок}=P_{осн}\cdot h$Пирамида Многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники с общей вершиной. Усеченная пирамида — это часть пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему (высоту боковой грани): $S_{бок}=\frac{1}{2}{P}_{осн}\cdot l$ где $l$ — апофема. Могу составить для вас таблицу с основными формулами объемов этих фигур или подготовить решение типовой задачи на теорему о трех перпендикулярах. Что будет полезнее?