Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна 4 см, плоский угол при вершине 45°. найти объём пирамиды. найдите сторону основания и высоту правильной четырёхугольной призмы, если площадь полной поверхности равна 47 см^2, а площадь боковой поверхности равна 11 см^2

Для решения первой задачи необходимо найти сторону основания и высоту пирамиды через заданные апофему и угол. Во второй задаче параметры призмы вычисляются через формулы площадей поверхностей. Шаг 1: Нахождение объема пирамиды Рассмотрим боковую грань правильной четырёхугольной пирамиды. Она представляет собой равнобедренный треугольник с углом при вершине $\alpha ={45}^{\circ }$. Апофема $L=4$ см является высотой этого треугольника, проведенной к основанию $a$.

1. Сторона основания $a$:
   В прямоугольном треугольнике, образованном апофемой и половиной стороны основания:
   $\tan \left(\frac{\alpha }{2}\right)=\frac{a/2}{L}⟹a=2L\tan \left({22.5}^{\circ }\right)$
   Используя формулу $\tan \left({22.5}^{\circ }\right)=\sqrt{2}-1$ :
   $a=2\cdot 4\cdot (\sqrt{2}-1)=8(\sqrt{2}-1)$ см. Высота пирамиды $H$:
   Высота $H$, апофема $L$ и радиус вписанной в основание окружности $r=a/2$ образуют прямоугольный треугольник:
   $H^2=L^2-(a/2{)}^2=4^2-[4(\sqrt{2}-1){]}^2=16-16(2-2\sqrt{2}+1)=16(1-3+2\sqrt{2})=16(2\sqrt{2}-2)$
   $H=4\sqrt{2\sqrt{2}-2}$ см. Объем пирамиды $V$:
   $V=\frac{1}{3}{a}^{2}H=\frac{1}{3}\left[8\right(\sqrt{2}-1){]}^2\cdot 4\sqrt{2\sqrt{2}-2}=\frac{256}{3}(3-2\sqrt{2})\sqrt{2\sqrt{2}-2}$ см ${}^3$.

Шаг 2: Нахождение параметров призмы Для правильной четырёхугольной призмы с основанием $a$ и высотой $h$ известны площади полной ( $S_{полн}$) и боковой ( $S_{бок}$) поверхностей.

1. Площадь основания $S_{осн}$:
   $S_{полн}=S_{бок}+2S_{осн}⟹47=11+2S_{осн}⟹2S_{осн}=36⟹S_{осн}=18$ см ${}^2$. Сторона основания $a$:
   Так как в основании квадрат, то $a^2=S_{осн}=18⟹a=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ см. Высота призмы $h$:
   $S_{бок}=P_{осн}\cdot h=4ah⟹11=4\cdot 3\sqrt{2}\cdot h=12\sqrt{2}h$
   $h=\frac{11}{12\sqrt{2}}=\frac{11\sqrt{2}}{24}$ см.

Ответ: Объем пирамиды равен $\frac{256}{3}(3-2\sqrt{2})\sqrt{2\sqrt{2}-2}$ см ${}^3$; сторона основания призмы равна $3\sqrt{2}$ см, высота призмы равна $\frac{11\sqrt{2}}{24}$ см. Требуется ли вам численное приближение объема пирамиды или проверка решения для других типов многогранников?