Боковая поверхность правильной треугольной пирамиды равна 18дм^2 , вычислите объем этой пирамиды, если высота боковой грани 4 дм.

Объем этой правильной треугольной пирамиды составляет $\frac{3\sqrt{183}}{8}{\text{дм}}^3$ . ️ Шаг 1: Нахождение стороны основания Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды вычисляется по формуле $S_{бок}=\frac{1}{2}P\cdot h_{а}$ , где $P$ — периметр основания, а $h_{а}$ — апофема (высота боковой грани). Подставим известные значения: $18=\frac{1}{2}\cdot P\cdot 4$ $18=2PP=9\text{дм}$Так как в основании лежит правильный треугольник, сторона основания $a$ равна: $a=\frac{P}{3}=\frac{9}{3}=3\text{дм}$ ️ Шаг 2: Нахождение площади основания и радиуса вписанной окружности Площадь основания $S_{осн}$ для правильного треугольника: $S_{осн}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3^2\sqrt{3}}{4}=\frac{9\sqrt{3}}{4}{\text{дм}}^2$ Радиус вписанной в основание окружности $r$ понадобится для поиска высоты пирамиды: $r=\frac{a}{2\sqrt{3}}=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{дм}$ ️ Шаг 3: Нахождение высоты пирамиды Высота пирамиды $H$, апофема $h_{а}$ и радиус $r$ образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора: $H=\sqrt{h_{а}^2-r^2}=\sqrt{4^2-(\frac{\sqrt{3}}{2}{)}^2}=\sqrt{16-\frac{3}{4}}=\sqrt{\frac{61}{4}}=\frac{\sqrt{61}}{2}\text{дм}$ ️ Шаг 4: Вычисление объема Объем пирамиды $V$ вычисляется по формуле $V=\frac{1}{3}{S}_{осн}\cdot H$ : $V=\frac{1}{3}\cdot \frac{9\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{\sqrt{61}}{2}=\frac{3\sqrt{183}}{8}{\text{дм}}^3$ Ответ: $\frac{3\sqrt{183}}{8}$ дм ${}^3$ (примерно 5,07 дм ${}^3$) Нужно ли перевести полученный объем в литры или вычислить площадь полной поверхности этой пирамиды?