Б.)sin пи/8 cos пи/8 г.) 1/2 sin 105 градусов cos 105 градусов е.)(sin 7пи/8 - cos 7пи/8)^2 б) sin^2 пи/8 - cos^2 пи/8 г) 1-2 cos^2 5п/8 е)2sin^2 165 градусов - 1

Для решения данных примеров используются три основные тригонометрические формулы двойного аргумента:

1. Синус двойного угла: $\sin \left(2\alpha \right)=2\sin \alpha \cos \alpha$ Косинус двойного угла: $\cos \left(2\alpha \right)={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$ Альтернативные формы косинуса двойного угла:
   • $\cos \left(2\alpha \right)=1-2{\sin }^2\alpha$ $\cos \left(2\alpha \right)=2{\cos }^2\alpha -1$

Решение первой группы примеров Б.) $\sin \frac{\pi }{8}\cos \frac{\pi }{8}$ Используем формулу синуса двойного угла, предварительно домножив и разделив на 2: $\frac{1}{2}\cdot \left(2\sin \frac{\pi }{8}\cos \frac{\pi }{8}\right)=\frac{1}{2}\sin (2\cdot \frac{\pi }{8})=\frac{1}{2}\sin \frac{\pi }{4}$ Так как $\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ : $\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}$ Г.) $\frac{1}{2}\sin {105}^{\circ }\cos {105}^{\circ }$ Аналогично, выделим формулу двойного угла: $\frac{1}{4}\cdot \left(2\sin {105}^{\circ }\cos {105}^{\circ }\right)=\frac{1}{4}\sin (2\cdot {105}^{\circ })=\frac{1}{4}\sin {210}^{\circ }$ Используем формулу приведения $\sin {210}^{\circ }=\sin ({180}^{\circ }+{30}^{\circ })=-\sin {30}^{\circ }=-1/2$: $\frac{1}{4}\cdot (-\frac{1}{2})=-\frac{1}{8}$ Е.) $(\sin \frac{7\pi }{8}-\cos \frac{7\pi }{8}{)}^2$ Раскроем квадрат разности по формуле $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$: ${\sin }^2\frac{7\pi }{8}-2\sin \frac{7\pi }{8}\cos \frac{7\pi }{8}+{\cos }^2\frac{7\pi }{8}$ Сгруппируем члены: $({\sin }^2\frac{7\pi }{8}+{\cos }^2\frac{7\pi }{8})-\left(2\sin \frac{7\pi }{8}\cos \frac{7\pi }{8}\right)$ Используем основное тождество ( ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$) и синус двойного угла: $1-\sin (2\cdot \frac{7\pi }{8})=1-\sin \frac{7\pi }{4}$ Значение $\sin \frac{7\pi }{4}=\sin (2\pi -\frac{\pi }{4})=-\sin \frac{\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ : $1-(-\frac{\sqrt{2}}{2})=1+\frac{\sqrt{2}}{2}$ Решение второй группы примеров б) ${\sin }^2\frac{\pi }{8}-{\cos }^2\frac{\pi }{8}$ Вынесем минус за скобки, чтобы получить формулу косинуса двойного угла: $-({\cos }^2\frac{\pi }{8}-{\sin }^2\frac{\pi }{8})=-\cos (2\cdot \frac{\pi }{8})=-\cos \frac{\pi }{4}$ Так как $\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ : $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ г) $1-2{\cos }^2\frac{5\pi }{8}$ Вынесем минус за скобки, чтобы привести к стандартному виду $2{\cos }^2\alpha -1$: $-(2{\cos }^2\frac{5\pi }{8}-1)=-\cos (2\cdot \frac{5\pi }{8})=-\cos \frac{5\pi }{4}$ Используем формулу приведения $\cos \frac{5\pi }{4}=\cos (\pi +\frac{\pi }{4})=-\cos \frac{\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ : $-(-\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{\sqrt{2}}{2}$ е) $2{\sin }^2{165}^{\circ }-1$ Вынесем минус за скобки, чтобы получить формулу $1-2{\sin }^2\alpha$: $-(1-2{\sin }^2{165}^{\circ })=-\cos (2\cdot {165}^{\circ })=-\cos {330}^{\circ }$Используем формулу приведения $\cos {330}^{\circ }=\cos ({360}^{\circ }-{30}^{\circ })=\cos {30}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ : $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ Могу ли я помочь с решением других тригонометрических задач или упрощением выражений?