C1. 36^ sin2x = 6^2sinx [-7п/2 : -5п/2]

Решение показательного уравнения Для решения уравнения ${36}^{\sin 2x}=6^{2\sin x}$ приведем обе части к одному основанию $6$:

1. Заметим, что $36=6^2$. Тогда уравнение принимает вид:
   $(6^2{)}^{\sin 2x}=6^{2\sin x}$ $6^{2\sin 2x}=6^{2\sin x}$ Так как основания равны, приравниваем показатели:
   $2\sin 2x=2\sin x$ $\sin 2x=\sin x$ Используем формулу двойного аргумента $\sin 2x=2\sin x\cos x$:
   $2\sin x\cos x-\sin x=0$ $\sin x(2\cos x-1)=0$ Получаем два случая:
   • Случай 1: $\sin x=0$
     $x=\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Случай 2: $2\cos x-1=0⟹\cos x=\frac{1}{2}$
     $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$

Отбор корней на отрезке $[-7\pi /2;-5\pi /2]$ Переведем границы отрезка в десятичный вид для удобства: $[-3.5\pi ;-2.5\pi ]$.

1. Для серии $x=\pi k$:
   • При $k=-3$: $x=-3\pi$. Число $-3\pi$ входит в отрезок, так как $-3.5<-3<-2.5$. При $k=-4$: $x=-4\pi$ (вне отрезка). При $k=-2$: $x=-2\pi$ (вне отрезка).
2. Для серии $x=\frac{\pi }{3}+2\pi n$ :
   • При $n=-1$: $x=\frac{\pi }{3}-2\pi =-\frac{5\pi }{3}\approx -1.66\pi$ (вне отрезка). При $n=-2$: $x=\frac{\pi }{3}-4\pi =-\frac{11\pi }{3}\approx -3.66\pi$ (вне отрезка).
3. Для серии $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi n$ :
   • При $n=-1$: $x=-\frac{\pi }{3}-2\pi =-\frac{7\pi }{3}\approx -2.33\pi$ (вне отрезка). При $n=-2$: $x=-\frac{\pi }{3}-4\pi =-\frac{13\pi }{3}$ (вне отрезка). Проверим положение на окружности: Точка $-\frac{\pi }{3}$ в отрицательном направлении от $-2\pi$ — это $-2\pi -\frac{\pi }{3}=-7\pi /3$ и $-4\pi +\frac{\pi }{3}=-11\pi /3$ . Ни одна из них не попадает в диапазон $[-3.5\pi ;-2.5\pi ]$. Однако точка $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi n$ при $n=-1.5$ невозможна. Проверим значение $-2\pi -\frac{2\pi }{3}$ ? Нет. Единственная подходящая точка из серии $\cos x=1/2$ на этом круге — это $x=-2\pi -\frac{4\pi }{3}$ или $-3\pi -\dots$ Точнее: в интервале от $-3.5\pi$ до $-2.5\pi$ косинус положителен только в четвертой четверти (от $-3\pi$ до $-2.5\pi$). Там находится корень $-3\pi +\frac{\pi }{3}=-\frac{8\pi }{3}=-2.66\pi$ . Этот корень принадлежит серии $x=\frac{\pi }{3}+2\pi n$ при $n=-1.5$ (что невозможно) или $x=-\frac{\pi }{3}-2\pi$ ? Нет. Перепроверим: точка $-\frac{\pi }{3}$ соответствует $-2\pi -\frac{\pi }{3}=-7\pi /3$ (это $-2.33\pi$, правее отрезка). Следующий виток: $-7\pi /3-2\pi =-13\pi /3$ (левее). Точка $\frac{\pi }{3}$ соответствует $-2\pi +\frac{\pi }{3}=-5\pi /3$ (правее). Следующий виток: $-5\pi /3-2\pi =-11\pi /3$ (левее).

Вывод по отбору: В указанном промежутке $[-3.5\pi ;-2.5\pi ]$ находится только один корень из всех серий. Ответ:

• а) корни: $\pi k;\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n,k,n\in \mathbb{Z}$ б) на отрезке: $-3\pi$

Хотите, чтобы я разобрал решение аналогичного уравнения с другими тригонометрическими функциями?