Log5(2x+3)>log5(x-1)

Для решения неравенства ${\log }_5(2x+3)>{\log }_5(x-1)$ необходимо учесть свойства логарифмической функции и область допустимых значений (ОДЗ). 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) Аргумент логарифма всегда должен быть строго больше нуля. Поэтому составим систему неравенств:

1. $2x+3>0⟹2x>-3⟹x>-1.5$ $x-1>0⟹x>1$

Пересечением этих условий является промежуток $x>1$. 2. Решение основного неравенства Так как основание логарифма $a=5$ больше единицы ( $5>1$), логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется: $2x+3>x-1$Перенесем переменные в левую часть, а числа — в правую: $2x-x>-1-3$ $x>-4$3. Нахождение пересечения с ОДЗ Теперь необходимо объединить полученное решение с условиями ОДЗ:

• Результат решения: $x>-4$ Ограничение ОДЗ: $x>1$

На числовой прямой пересечением этих множеств будет интервал $(1;+\infty )$. Ответ: $x\in (1;+\infty )$ или $x>1$. Я могу подготовить для вас аналогичный разбор для случая, когда основание логарифма меньше единицы (например, $0.5$), где знак неравенства меняется на противоположный. Хотите рассмотреть такой пример?