Cos2x - √ 2 *sin(п/2-x)+1=0 2. 4^x-1/2 - 17*2^x-2 + 2 больше либо равно нулю

Решение тригонометрического уравнения Уравнение: $\cos 2x-\sqrt{2}\sin (\frac{\pi }{2}-x)+1=0$

1. Применим формулы приведения и двойного угла:
   • По формуле приведения: $\sin (\frac{\pi }{2}-x)=\cos x$ . Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$.
2. Подставим преобразования в исходное уравнение:
   $(2{\cos }^{2}x-1)-\sqrt{2}\cos x+1=0$
   $2{\cos }^{2}x-\sqrt{2}\cos x=0$ Разложим на множители:
   $\cos x\cdot (2\cos x-\sqrt{2})=0$ Решим совокупность уравнений:
   • Случай 1: $\cos x=0$
     $x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Случай 2: $2\cos x-\sqrt{2}=0\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$
     $x=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$

Ответ: $x=\frac{\pi }{2}+\pi n$ ; $x=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi k$ , где $n,k\in \mathbb{Z}$. Решение показательного неравенства Неравенство: $4^{x-1/2}-17\cdot 2^{x-2}+2\ge 0$

1. Преобразуем степени к основанию 2:
   • $4^{x-1/2}=(2^2{)}^{x-1/2}=2^{2x-1}=\frac{2^{2x}}{2}=\frac{1}{2}\cdot (2^x{)}^2$ $17\cdot 2^{x-2}=17\cdot \frac{2^x}{2^2}=\frac{17}{4}\cdot 2^x$
2. Перепишем неравенство:
   $\frac{1}{2}\cdot (2^x{)}^2-\frac{17}{4}\cdot 2^x+2\ge 0$ Введем замену переменной:
   Пусть $t=2^x$, где $t>0$.
   $\frac{1}{2}{t}^2-\frac{17}{4}t+2\ge 0$ Умножим все части на 4 для избавления от дробей:
   $2t^2-17t+8\ge 0$ Найдем корни квадратного трехчлена $2t^2-17t+8=0$:
   $D=(-17{)}^2-4\cdot 2\cdot 8=289-64=225={15}^2$
   $t_1=\frac{17+15}{4}=8$
   $t_2=\frac{17-15}{4}=\frac{2}{4}=0.5$ Решим неравенство относительно $t$:
   Квадратичная функция ветвями вверх, следовательно:
   $t\le 0.5$ или $t\ge 8$ Вернемся к обратной замене:
   • $2^x\le 0.52^x\le 2^{-1}x\le -1$ $2^x\ge 82^x\ge 2^{3}x\ge 3$

Ответ: $x\in (-\infty ;-1]\cup [3;+\infty )$. Я могу выполнить для вас отбор корней тригонометрического уравнения на заданном промежутке или составить аналогичные задания для тренировки. Что мне сделать?