Решить неравенство x^2+2x-3/(x-7)(x+5)<0

Для решения рационального неравенства воспользуемся методом интервалов. 1. Анализ выражения Рассмотрим неравенство: $\frac{x^2+2x-3}{(x-7)(x+5)}<0$ Для нахождения критических точек (нулей числителя и нулей знаменателя) разложим числитель на множители. 2. Разложение числителя на множители Решим квадратное уравнение $x^2+2x-3=0$ через дискриминант или по теореме Виета:

• Сумма корней $x_1+x_2=-2$ Произведение корней $x_1\cdot x_2=-3$

Корни: $x=1$ и $x=-3$. Следовательно, $x^2+2x-3=(x-1)(x+3)$. 3. Нахождение критических точек Перепишем исходное неравенство в виде: $\frac{(x-1)(x+3)}{(x-7)(x+5)}<0$ Определим точки, в которых выражение меняет знак:

• Нули числителя: $x=1$, $x=-3$ (в этих точках выражение равно 0). Нули знаменателя (ОДЗ): $x\ne 7$, $x\ne -5$ (в этих точках выражение не определено).

4. Метод интервалов Отметим все полученные точки на числовой прямой. Поскольку неравенство строгое ( $<$), все точки будут выколотыми (пустыми). Точки в порядке возрастания: $-5,-3,1,7$. Эти точки разбивают числовую прямую на пять интервалов. Определим знак выражения на каждом из них, подставляя любое число из интервала:

5. Выбор интервалов и ответ Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля (–). Это промежутки:

1. $(-5;-3)$
2. $(1;7)$

Ответ: $x\in (-5;-3)\cup (1;7)$ Я могу также помочь с решением систем неравенств или построением графика этой функции. Хотите рассмотреть аналогичный пример с нестрогим знаком?