Cos^2x-sin^2x+cosx=0

Для решения уравнения ${\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x+\cos x=0$ воспользуемся тригонометрическими тождествами и сведем его к квадратному. 1. Преобразование уравнения Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$. Уравнение принимает вид: $\cos 2x+\cos x=0$Также можно выразить ${\sin }^{2}x$ через ${\cos }^{2}x$, используя основное тригонометрическое тождество ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$: ${\cos }^{2}x-(1-{\cos }^{2}x)+\cos x=0$ $2{\cos }^{2}x+\cos x-1=0$2. Введение новой переменной Пусть $t=\cos x$, где $\left|t\right|\le 1$. Тогда уравнение становится квадратным: $2t^2+t-1=0$3. Решение квадратного уравнения Найдем дискриминант: $D=b^2-4ac=1^2-4\cdot 2\cdot \left(-1\right)=1+8=9$ $t=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-1\pm 3}{4}$ Получаем два корня:

1. $t_1=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ $t_2=\frac{-4}{4}=-1$

Оба значения входят в область определения косинуса $[-1;1]$. 4. Обратная подстановка и нахождение $x$

• Для $t_1=\frac{1}{2}$ :
  $\cos x=\frac{1}{2}$ $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Для $t_2=-1$:
  $\cos x=-1$ $x=\pi +2\pi k,k\in \mathbb{Z}$

Ответ:

• $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$ $x=\pi +2\pi k,k\in \mathbb{Z}$

Требуется ли вам отбор корней на определенном числовом промежутке?