Log0.5(log2(log1/3 (1/x))) >0

Для решения неравенства ${\log }_{0.5}\left({\log }_2\right({\log }_{1/3}\frac{1}{x}\left)\right)>0$ необходимо последовательно раскрыть логарифмы, учитывая область допустимых значений (ОДЗ) и изменение знака неравенства при основании меньше единицы. 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) Аргумент каждого логарифма должен быть строго больше нуля:

1. $\frac{1}{x}>0⟹\mathbf{x}\mathbf{>}\mathbf{0}$ ${\log }_{1/3}\frac{1}{x}>0$ ${\log }_2\left({\log }_{1/3}\frac{1}{x}\right)>0$

2. Пошаговое решение неравенства Шаг 1: Снимаем внешний логарифм ${\log }_{0.5}$ Так как основание $0.5<1$, при снятии логарифма знак неравенства меняется на противоположный. Также учитываем, что аргумент должен быть больше нуля по ОДЗ: $0<{\log }_2\left({\log }_{1/3}\frac{1}{x}\right)<{0.5}^0$ $0<{\log }_2\left({\log }_{1/3}\frac{1}{x}\right)<1$ Шаг 2: Снимаем логарифм ${\log }_2$ Так как основание $2>1$, знак неравенства сохраняется: $2^0<{\log }_{1/3}\frac{1}{x}<2^1$ $1<{\log }_{1/3}\frac{1}{x}<2$ Шаг 3: Снимаем логарифм ${\log }_{1/3}$ Так как основание $1/3<1$, знаки неравенства снова меняются на противоположные: $(1/3{)}^1>\frac{1}{x}>(1/3{)}^2$ $\frac{1}{3}>\frac{1}{x}>\frac{1}{9}$ Шаг 4: Решаем относительно $x$ Перевернем дроби (так как все части положительны, знаки неравенства снова меняются): $3<x<9$3. Проверка ОДЗ Все условия ОДЗ были автоматически учтены в процессе решения двойного неравенства:

• ${\log }_{1/3}\frac{1}{x}$ находился в интервале $(1,2)$, что больше $0$. ${\log }_2\left({\log }_{1/3}\frac{1}{x}\right)$ находился в интервале $(0,1)$, что больше $0$. $x$ находится в интервале $(3,9)$, что больше $0$.

Ответ: $x\in (3,9)$Я могу составить для вас аналогичное задание для закрепления материала или разобрать более сложную систему логарифмических неравенств. Желаете продолжить?