Log2(x^2+x)=log2(x^2+11)

Для решения уравнения ${\log }_2(x^2+x)={\log }_2(x^2+11)$ воспользуемся свойствами логарифмов и алгоритмом решения логарифмических уравнений. 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Логарифм определен только для положительных чисел. Следовательно, аргументы обоих логарифмов должны быть больше нуля:

1. $x^2+x>0⟹x(x+1)>0$ $x^2+11>0$

Второе неравенство ( $x^2+11>0$) выполняется при любых действительных значениях $x$, так как квадрат числа всегда неотрицателен. Решим первое неравенство $x(x+1)>0$:

• Корни уравнения $x(x+1)=0$: $x=0$ и $x=-1$. Интервалы: $(-\infty ;-1)\cup (0;+\infty )$.

ОДЗ: $x\in (-\infty ;-1)\cup (0;+\infty )$ 2. Решение уравнения Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы: $x^2+x=x^2+11$Перенесем все слагаемые с переменной в левую часть, а числа — в правую: $x^2-x^2+x=11$После приведения подобных слагаемых получаем: $x=11$3. Проверка по ОДЗ Проверим, входит ли полученный корень в область допустимых значений: Число 11 входит в интервал $(0;+\infty )$. Также можно сделать прямую проверку подстановкой:

• Левая часть: ${\log }_2({11}^2+11)={\log }_2(121+11)={\log }_2\left(132\right)$ Правая часть: ${\log }_2({11}^2+11)={\log }_2(121+11)={\log }_2\left(132\right)$
  Равенство верно.

Ответ: $x=11$ Я могу помочь с решением системы уравнений или разбором более сложных логарифмических неравенств, если это необходимо.