Log 1-x ( 3-x) = log3-x (1-x)

Для решения уравнения ${\log }_{1-x}(3-x)={\log }_{3-x}(1-x)$ воспользуемся свойствами логарифмов и методами решения логарифмических уравнений. 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Основание логарифма должно быть положительным и не равным $1$, а аргумент логарифма — положительным. Для левой части ${\log }_{1-x}(3-x)$:

1. $1-x>0⟹x<1$ $1-x\ne 1⟹x\ne 0$ $3-x>0⟹x<3$

Для правой части ${\log }_{3-x}(1-x)$:

1. $3-x>0⟹x<3$ $3-x\ne 1⟹x\ne 2$ $1-x>0⟹x<1$

Общая ОДЗ: $x\in (-\infty ;0)\cup (0;1)$. 2. Преобразование уравнения Заметим, что в правой части стоит логарифм, обратный левой части по основанию и аргументу. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию ${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$ : ${\log }_{1-x}(3-x)=\frac{1}{{\log }_{1-x}(3-x)}$ Пусть ${\log }_{1-x}(3-x)=t$. Тогда уравнение принимает вид: $t=\frac{1}{t}$ $t^2=1$Это дает два случая: $t=1$ и $t=-1$. 3. Решение случаев Случай 1: $t=1$ ${\log }_{1-x}(3-x)=1$По определению логарифма: $3-x=(1-x{)}^1$ $3-x=1-x$ $3=1$Данное равенство неверно, следовательно, в этом случае решений нет. Случай 2: $t=-1$ ${\log }_{1-x}(3-x)=-1$По определению логарифма: $3-x=(1-x{)}^{-1}$ $3-x=\frac{1}{1-x}$ Умножим обе части на $(1-x)$, учитывая, что $x\ne 1$: $(3-x)(1-x)=1$ $3-3x-x+x^2=1$ $x^2-4x+2=0$Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D=(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot 2=16-8=8$ $x=\frac{4\pm \sqrt{8}}{2}=\frac{4\pm 2\sqrt{2}}{2}=2\pm \sqrt{2}$ 4. Проверка корней по ОДЗ Напомним, что ОДЗ: $x\in (-\infty ;0)\cup (0;1)$.

1. $x_1=2+\sqrt{2}\approx 3.41$
   Не входит в ОДЗ (так как $3.41>1$). $x_2=2-\sqrt{2}\approx 2-1.41=0.59$
   Не входит в ОДЗ (так как $0.59$ находится в интервале $(0;1)$, но ОДЗ требует $x<1$ и $x\ne 0$, однако при подстановке в исходное уравнение основание $1-x$ должно быть положительным. Проверим: $1-(2-\sqrt{2})=\sqrt{2}-1\approx 0.41$ . Это значение $>0$ и $\ne 1$. Но аргумент $3-x=3-(2-\sqrt{2})=1+\sqrt{2}>0$ .

Перепроверка ОДЗ: Я допустил уточнение: $x<1$ и $x\ne 0$ — это единственные ограничения. Значение $x=2-\sqrt{2}\approx 0.58$ попадает в интервал $(0;1)$. Следовательно, этот корень подходит. Ответ: $x=2-\sqrt{2}$ Хотите, чтобы я решил аналогичное логарифмическое уравнение с другими условиями?