Что такое промежутки монотонности

Промежутки монотонности — это интервалы значений аргумента $x$, на которых функция либо только возрастает, либо только убывает. Поиск этих промежутков является ключевым этапом исследования поведения функции. Основные определения

1. Возрастающая функция: Функция называется возрастающей на интервале, если для любых $x_1$ и $x_2$ из этого интервала из условия $x_2>x_1$ следует, что $f\left(x_2\right)>f\left(x_1\right)$. Говоря простыми словами: большему значению аргумента соответствует большее значение функции (график идет «вверх»). Убывающая функция: Функция называется убывающей на интервале, если для любых $x_1$ и $x_2$ из этого интервала из условия $x_2>x_1$ следует, что $f\left(x_2\right)<f\left(x_1\right)$. То есть большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции (график идет «вниз»).

Использование производной для поиска монотонности Наиболее эффективный способ нахождения промежутков монотонности — применение дифференциального исчисления. Согласно достаточному условию монотонности:

• Если производная функции положительна ( $f^{\prime }\left(x\right)>0$) на некотором интервале, то функция на этом интервале возрастает. Если производная функции отрицательна ( $f^{\prime }\left(x\right)<0$) на некотором интервале, то функция на этом интервале убывает. Если производная равна нулю ( $f^{\prime }\left(x\right)=0$), функция на этом участке является постоянной (константой).

Алгоритм нахождения промежутков монотонности Для того чтобы определить интервалы возрастания и убывания функции $y=f\left(x\right)$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции ( $D\left(f\right)$). Это важно, так как промежутки монотонности могут существовать только внутри области определения.
2. Найти производную функции $f^{\prime }\left(x\right)$.
3. Найти критические точки. Это точки, в которых производная равна нулю ( $f^{\prime }\left(x\right)=0$) или не существует. Именно в этих точках функция может менять направление своего движения. Разбить область определения на интервалы. Используйте найденные критические точки, чтобы разделить ось $Ox$ на части. Определить знак производной на каждом интервале. Для этого достаточно подставить любое пробное число из интервала в выражение производной:
   • Знак « $+$» означает возрастание. Знак « $-$» означает убывание.
   Записать ответ. Промежутки записываются в виде интервалов.

Важное замечание о граничных точках В школьной программе и классическом анализе принято включать граничные точки в промежутки монотонности, если функция в них определена и непрерывна.

Пример: Если функция возрастает на $(a,b)$ и определена в точках $a$ и $b$, то в ответе обычно указывают отрезок $[a,b]$.

Пример Для функции $f\left(x\right)=x^2-4x$:

1. Производная: $f^{\prime }\left(x\right)=2x-4$. Критическая точка: $2x-4=0x=2$. При $x<2$ производная отрицательна (функция убывает). При $x>2$ производная положительна (функция возрастает).
   Ответ: убывает на $(-\infty ;2]$, возрастает на $[2;+\infty )$.

Если вам необходимо, я могу разобрать решение конкретной функции по этому алгоритму.