Докажите,что сумма кубов трех последовательных целых чисел делится на9

Для доказательства того, что сумма кубов трех последовательных целых чисел всегда делится на 9, воспользуемся методами алгебраических преобразований. 1. Формулировка выражения Пусть три последовательных целых числа будут представлены как:

• $(n-1)$ $n$ $(n+1)$

Сумма их кубов $S$ записывается следующим образом: $S=(n-1{)}^3+n^3+(n+1{)}^3$2. Раскрытие скобок Используем формулы сокращенного умножения для куба суммы и куба разности:

• $(n-1{)}^3=n^3-3n^2+3n-1$ $(n+1{)}^3=n^3+3n^2+3n+1$

Теперь подставим эти выражения в нашу сумму $S$: $S=(n^3-3n^2+3n-1)+n^3+(n^3+3n^2+3n+1)$3. Упрощение выражения Сложим все слагаемые и приведем подобные:

• $n^3+n^3+n^3=3n^3$ $-3n^2+3n^2=0$ $3n+3n=6n$ $-1+1=0$

В итоге получаем: $S=3n^3+6n$Вынесем общий множитель 3 за скобки: $S=3(n^3+2n)$Чтобы доказать, что $S$ делится на 9, нам нужно показать, что выражение в скобках $(n^3+2n)$ делится на 3. 4. Анализ остатков Рассмотрим возможные остатки при делении целого числа $n$ на 3. Любое число $n$ можно представить в одном из трех видов: $3k$, $3k+1$ или $3k+2$ (что эквивалентно $3k-1$).

• Случай 1: $n=3k$ (число делится на 3)
  В этом случае $n^3+2n=(3k{)}^3+2(3k)=27k^3+6k$. Оба слагаемых делятся на 3, значит и сумма делится на 3. Случай 2: $n=3k+1$
  Подставим в выражение:
  $(3k+1{)}^3+2(3k+1)=(27k^3+27k^2+9k+1)+(6k+2)=27k^3+27k^2+15k+3$.
  Все коэффициенты (27, 27, 15, 3) делятся на 3. Выражение делится на 3. Случай 3: $n=3k-1$
  Подставим в выражение:
  $(3k-1{)}^3+2(3k-1)=(27k^3-27k^2+9k-1)+(6k-2)=27k^3-27k^2+15k-3$.
  Все коэффициенты также делятся на 3.

Заключение Поскольку выражение $(n^3+2n)$ всегда делится на 3, его можно представить как $3m$, где $m$ — целое число. Тогда исходная сумма $S$: $S=3\cdot \left(3m\right)=9m$Следовательно, сумма кубов трех последовательных целых чисел кратна 9. Что и требовалось доказать. Я могу также подготовить для вас доказательство этого утверждения методом математической индукции, если это необходимо.