Вычислите: 4*2^2x-5*2^x+1=0

Для решения уравнения $4\cdot 2^{2x}-5\cdot 2^x+1=0$ воспользуемся методом введения новой переменной. 1. Замена переменной Заметим, что $2^{2x}=(2^x{)}^2$. Пусть $2^x=t$. Так как показательная функция всегда принимает положительные значения, вводим ограничение: $t>0$. После замены уравнение принимает вид квадратного: $4t^2-5t+1=0$2. Решение квадратного уравнения Для нахождения корней вычислим дискриминант по формуле $D=b^2-4ac$:

• $a=4$ $b=-5$ $c=1$

$D=(-5{)}^2-4\cdot 4\cdot 1=25-16=9$Находим корни $t$ по формуле $t=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$ :

• $t_1=\frac{5+\sqrt{9}}{2\cdot 4}=\frac{5+3}{8}=\frac{8}{8}=1$ $t_2=\frac{5-\sqrt{9}}{2\cdot 4}=\frac{5-3}{8}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$

Оба значения удовлетворяют условию $t>0$. 3. Обратная замена Теперь вернемся к переменной $x$, решив два простых показательных уравнения. Случай 1: $2^x=1$Так как любое число в нулевой степени равно 1 ( $2^0=1$): $x_1=0$ Случай 2: $2^x=\frac{1}{4}$ Представим дробь в виде степени с основанием 2: $\frac{1}{4}=\frac{1}{2^2}=2^{-2}$ . $2^x=2^{-2}$ $x_2=-2$ Ответ: $x_1=0;x_2=-2$ Я могу составить для вас аналогичные задачи для закрепления темы или помочь с решением систем показательных уравнений. Хотите продолжить?