Исследование функции с помощью производной y=x^4 - 2x^2 +3 и y=2x^3+3x^2

Для функции $y=x^4-2x^2+3$ точками минимума являются $(-1;2)$ и $(1;2)$, а точкой максимума — $(0;3)$; для функции $y=2x^3+3x^2$ точкой максимума является $(-1;1)$, а точкой минимума — $(0;0)$. Шаг 1: Исследование функции $y=x^4-2x^2+3$

1. Область определения: $D\left(y\right)=\mathbb{R}$. Функция четная, так как $f(-x)=f\left(x\right)$. Нахождение производной:
   $y^{\prime }=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1)$ Критические точки: $y^{\prime }=0$ при $x_1=0,x_2=1,x_3=-1$. Монотонность и экстремумы:

• На интервалах $(-\infty ,-1)$ и $(0,1)$ производная $y^{\prime }<0$ — функция убывает. На интервалах $(-1,0)$ и $(1,\infty )$ производная $y^{\prime }>0$ — функция возрастает. В точках $x=\pm 1$ имеем локальные минимумы: $y(\pm 1)=1-2+3=2$. В точке $x=0$ имеем локальный максимум: $y\left(0\right)=3$.

1. Выпуклость и точки перегиба:
   $y^{\prime \prime }=12x^2-4=4(3x^2-1)$ $y^{\prime \prime }=0$ при $x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ . Это точки перегиба.

Шаг 2: Исследование функции $y=2x^3+3x^2$

1. Область определения: $D\left(y\right)=\mathbb{R}$. Нахождение производной:
   $y^{\prime }=6x^2+6x=6x(x+1)$ Критические точки: $y^{\prime }=0$ при $x_1=0,x_2=-1$. Монотонность и экстремумы:

• На интервалах $(-\infty ,-1)$ и $(0,\infty )$ производная $y^{\prime }>0$ — функция возрастает. На интервале $(-1,0)$ производная $y^{\prime }<0$ — функция убывает. В точке $x=-1$ имеем локальный максимум: $y\left(-1\right)=2(-1{)}^3+3(-1{)}^2=-2+3=1$. В точке $x=0$ имеем локальный минимум: $y\left(0\right)=0$.

1. Выпуклость и точки перегиба:
   $y^{\prime \prime }=12x+6=6(2x+1)$ $y^{\prime \prime }=0$ при $x=-0.5$. При $x<-0.5$ график выпуклый вверх, при $x>-0.5$ — вниз. Точка перегиба: $(-0.5;0.5)$.

Ответ: Для первой функции: минимумы $(-1;2)$, $(1;2)$, максимум $(0;3)$. Для второй функции: максимум $(-1;1)$, минимум $(0;0)$. Требуется ли вам построить схематичный график этих функций на основе полученных данных о точках перегиба и экстремумах?