Решите систему: { 1 x−1 + 2 x−2 − 6 x−3 ≥0 √ x2+34≥6 √ x2+34≥6

Решением системы неравенств является объединение промежутков $x\in (-\infty ,-\sqrt{2}]\cup [\sqrt{2},\frac{5}{3}]\cup (2,3)$ . ️ Шаг 1: Решение дробно-рационального неравенства Рассмотрим первое неравенство: $\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x-2}-\frac{6}{x-3}\ge 0$ . Установим область допустимых значений (ОДЗ): $x\ne 1,x\ne 2,x\ne 3$. Приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{(x-2)(x-3)+2(x-1)(x-3)-6(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-2)(x-3)}\ge 0$ Раскроем скобки в числителе: $(x^2-5x+6)+2(x^2-4x+3)-6(x^2-3x+2)=x^2-5x+6+2x^2-8x+6-6x^2+18x-12=-3x^2+5x$Получаем неравенство $\frac{x(5-3x)}{(x-1)(x-2)(x-3)}\ge 0$ , которое эквивалентно $\frac{x(3x-5)}{(x-1)(x-2)(x-3)}\le 0$ . Используя метод интервалов для точек $0,1,\frac{5}{3},2,3$ , находим решение: $x\in (-\infty ,0]\cup (1,\frac{5}{3}]\cup (2,3)$ ️ Шаг 2: Решение иррационального неравенства Рассмотрим неравенство $\sqrt{x^2+34}\ge 6$ . Так как обе части неотрицательны, возведем их в квадрат: $x^2+34\ge 36⟹x^2\ge 2⟹\left|x\right|\ge \sqrt{2}$ Следовательно, решением второго неравенства является: $x\in (-\infty ,-\sqrt{2}]\cup [\sqrt{2},+\infty )$ ️ Шаг 3: Нахождение пересечения решений Для получения итогового ответа найдем пересечение множеств из Шага 1 и Шага 2:

1. $(-\infty ,0]\cap \left(\right(-\infty ,-\sqrt{2}]\cup [\sqrt{2},+\infty \left)\right)=(-\infty ,-\sqrt{2}]$ $(1,\frac{5}{3}]\cap \left(\right(-\infty ,-\sqrt{2}]\cup [\sqrt{2},+\infty \left)\right)=[\sqrt{2},\frac{5}{3}]$ $(2,3)\cap \left(\right(-\infty ,-\sqrt{2}]\cup [\sqrt{2},+\infty \left)\right)=(2,3)$

Объединяя результаты, получаем искомое множество. Ответ: x\in(-\infty,-\sqrt{2}]\cup[\sqrt{2},\frac{5}{3}]\cup(2,3) Нужно ли подготовить графическое представление интервалов на числовой прямой для этой задачи?