Исследовать на максимум и минимум функцию у=х^4-12х^2+9

Для исследования функции $y=x^4-12x^2+9$ на экстремумы (максимумы и минимумы) воспользуемся алгоритмом дифференциального исчисления. 1. Нахождение производной функции Для определения критических точек найдем первую производную функции: $y^{\prime }=(x^4-12x^2+9{)}^{\prime }=4x^3-24x$2. Нахождение критических точек Приравняем производную к нулю: $4x^3-24x=0$Вынесем общий множитель за скобки: $4x(x^2-6)=0$Отсюда получаем три корня:

1. $4x=0⟹{\mathbf{x}}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{0}$ $x^2-6=0⟹x^2=6⟹{\mathbf{x}}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{-}\sqrt{\mathbf{6}}$ ${\mathbf{x}}_{\mathbf{3}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{6}}$

3. Определение знаков производной Разделим числовую прямую на интервалы критическими точками и определим знак $y^{\prime }$ на каждом из них:

• $(-\infty ;-\sqrt{6})$ : возьмем $x=-3$, тогда $y^{\prime }\left(-3\right)=4\left(-27\right)-24\left(-3\right)=-108+72=-36<0$ (убывание) $(-\sqrt{6};0)$ : возьмем $x=-1$, тогда $y^{\prime }\left(-1\right)=-4+24=20>0$ (возрастание) $(0;\sqrt{6})$ : возьмем $x=1$, тогда $y^{\prime }\left(1\right)=4-24=-20<0$ (убывание) $(\sqrt{6};+\infty )$ : возьмем $x=3$, тогда $y^{\prime }\left(3\right)=108-72=36>0$ (возрастание)

4. Вычисление экстремумов Определим характер точек и вычислим значения функции в них:

Итоговый результат:

• Точки минимума: $x=-\sqrt{6}$ и $x=\sqrt{6}$ . Минимальное значение функции $y_{min}=-27$. Точка максимума: $x=0$. Максимальное значение функции $y_{max}=9$.

Я могу также найти точки перегиба этой функции для построения точного графика. Хотите, чтобы я это сделал?