Исследовать систему на совместность методом гаусса, если система совместна, то найти ее решение х1+3х2+х3+4х4=2 2х1-3х2+2х3+8х4=1 4х1+3х2+4х3-4х4=0 х1+6х2-х3+12х4=6

Question

Исследовать систему на совместность методом гаусса, если система совместна, то найти ее решение х1+3х2+х3+4х4=2 2х1-3х2+2х3+8х4=1 4х1+3х2+4х3-4х4=0 х1+6х2-х3+12х4=6

dikiy_fox 21.02.2026 18:16

Ответы и вопросы пользователей

Лебедев Дмитрий Сергеевич · Accepted Answer

Для решения системы линейных уравнений методом Гаусса составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк. Решением системы является: $x_{1} = 0.5 x sub 1 equals 0.5$ , $x_{2} = 1 / 3 x sub 2 equals 1 / 3$ , $x_{3} = -0.5 x sub 3 equals negative 0.5$ , $x_{4} = 0.25 x sub 4 equals 0.25$ . Шаг 1: Запись расширенной матрицы Запишем коэффициенты системы в виде расширенной матрицы: $(\begin{matrix} 1 & 3 & 1 & 4 & | & 2 \\ 2 & -3 & 2 & 8 & | & 1 \\ 4 & 3 & 4 & -4 & | & 0 \\ 1 & 6 & -1 & 12 & | & 6 \end{matrix}) the 4 by 6 matrix; Row 1: Column 1: 1, Column 2: 3, Column 3: 1, Column 4: 4, Column 5: vertical line, Column 6: 2; Row 2: Column 1: 2, Column 2: negative 3, Column 3: 2, Column 4: 8, Column 5: vertical line, Column 6: 1; Row 3: Column 1: 4, Column 2: 3, Column 3: 4, Column 4: negative 4, Column 5: vertical line, Column 6: 0; Row 4: Column 1: 1, Column 2: 6, Column 3: negative 1, Column 4: 12, Column 5: vertical line, Column 6: 6 end-matrix;$ Шаг 2: Прямой ход метода Гаусса Исключим переменную $x_{1} x sub 1$ из второй, третьей и четвертой строк. Для этого выполним операции: $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1} cap R sub 2 equals cap R sub 2 minus 2 cap R sub 1$ , $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1} cap R sub 3 equals cap R sub 3 minus 4 cap R sub 1$ , $R_{4} = R_{4} - R_{1} cap R sub 4 equals cap R sub 4 minus cap R sub 1$ : $(\begin{matrix} 1 & 3 & 1 & 4 & | & 2 \\ 0 & -9 & 0 & 0 & | & -3 \\ 0 & -9 & 0 & -20 & | & -8 \\ 0 & 3 & -2 & 8 & | & 4 \end{matrix}) the 4 by 6 matrix; Row 1: Column 1: 1, Column 2: 3, Column 3: 1, Column 4: 4, Column 5: vertical line, Column 6: 2; Row 2: Column 1: 0, Column 2: negative 9, Column 3: 0, Column 4: 0, Column 5: vertical line, Column 6: negative 3; Row 3: Column 1: 0, Column 2: negative 9, Column 3: 0, Column 4: negative 20, Column 5: vertical line, Column 6: negative 8; Row 4: Column 1: 0, Column 2: 3, Column 3: negative 2, Column 4: 8, Column 5: vertical line, Column 6: 4 end-matrix;$ Разделим вторую строку на $-3 negative 3$ для упрощения: $(\begin{matrix} 1 & 3 & 1 & 4 & | & 2 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & | & 1 \\ 0 & -9 & 0 & -20 & | & -8 \\ 0 & 3 & -2 & 8 & | & 4 \end{matrix}) the 4 by 6 matrix; Row 1: Column 1: 1, Column 2: 3, Column 3: 1, Column 4: 4, Column 5: vertical line, Column 6: 2; Row 2: Column 1: 0, Column 2: 3, Column 3: 0, Column 4: 0, Column 5: vertical line, Column 6: 1; Row 3: Column 1: 0, Column 2: negative 9, Column 3: 0, Column 4: negative 20, Column 5: vertical line, Column 6: negative 8; Row 4: Column 1: 0, Column 2: 3, Column 3: negative 2, Column 4: 8, Column 5: vertical line, Column 6: 4 end-matrix;$ Теперь исключим $x_{2} x sub 2$ из третьей и четвертой строк, используя вторую строку: $R_{3} = R_{3} + 3 R_{2} cap R sub 3 equals cap R sub 3 plus 3 cap R sub 2$ , $R_{4} = R_{4} - R_{2} cap R sub 4 equals cap R sub 4 minus cap R sub 2$ : $(\begin{matrix} 1 & 3 & 1 & 4 & | & 2 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -20 & | & -5 \\ 0 & 0 & -2 & 8 & | & 3 \end{matrix}) the 4 by 6 matrix; Row 1: Column 1: 1, Column 2: 3, Column 3: 1, Column 4: 4, Column 5: vertical line, Column 6: 2; Row 2: Column 1: 0, Column 2: 3, Column 3: 0, Column 4: 0, Column 5: vertical line, Column 6: 1; Row 3: Column 1: 0, Column 2: 0, Column 3: 0, Column 4: negative 20, Column 5: vertical line, Column 6: negative 5; Row 4: Column 1: 0, Column 2: 0, Column 3: negative 2, Column 4: 8, Column 5: vertical line, Column 6: 3 end-matrix;$ Поменяем местами третью и четвертую строки, чтобы получить ступенчатый вид: $(\begin{matrix} 1 & 3 & 1 & 4 & | & 2 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & | & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 8 & | & 3 \\ 0 & 0 & 0 & -20 & | & -5 \end{matrix}) the 4 by 6 matrix; Row 1: Column 1: 1, Column 2: 3, Column 3: 1, Column 4: 4, Column 5: vertical line, Column 6: 2; Row 2: Column 1: 0, Column 2: 3, Column 3: 0, Column 4: 0, Column 5: vertical line, Column 6: 1; Row 3: Column 1: 0, Column 2: 0, Column 3: negative 2, Column 4: 8, Column 5: vertical line, Column 6: 3; Row 4: Column 1: 0, Column 2: 0, Column 3: 0, Column 4: negative 20, Column 5: vertical line, Column 6: negative 5 end-matrix;$ Ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы ( $r a n k (A) = r a n k (A | B) = 4 r a n k open paren cap A close paren equals r a n k open paren cap A vertical line cap B close paren equals 4$ ). Число неизвестных также равно $44$ . Следовательно, система совместна и имеет единственное решение. Шаг 3: Обратный ход метода Гаусса Найдем значения переменных, двигаясь снизу вверх:

Из четвертой строки: $-20 x_{4} = -5 x_{4} = \frac{-5}{-20} = 0.25 negative 20 x sub 4 equals negative 5 implies x sub 4 equals negative 5 over negative 20 end-fraction equals 0.25$ Из третьей строки: $-2 x_{3} + 8 x_{4} = 3 -2 x_{3} + 8 (0.25) = 3 -2 x_{3} + 2 = 3 -2 x_{3} = 1 x_{3} = -0.5 negative 2 x sub 3 plus 8 x sub 4 equals 3 implies negative 2 x sub 3 plus 8 open paren 0.25 close paren equals 3 implies negative 2 x sub 3 plus 2 equals 3 implies negative 2 x sub 3 equals 1 implies x sub 3 equals negative 0.5$ Из второй строки: $3 x_{2} = 1 x_{2} = 1 / 3 3 x sub 2 equals 1 implies x sub 2 equals 1 / 3$ Из первой строки: $x_{1} + 3 x_{2} + x_{3} + 4 x_{4} = 2 x_{1} + 3 (1 / 3) + (-0.5) + 4 (0.25) = 2 x sub 1 plus 3 x sub 2 plus x sub 3 plus 4 x sub 4 equals 2 implies x sub 1 plus 3 open paren 1 / 3 close paren plus open paren negative 0.5 close paren plus 4 open paren 0.25 close paren equals 2$
$x_{1} + 1 - 0.5 + 1 = 2 x_{1} + 1.5 = 2 x_{1} = 0.5 x sub 1 plus 1 minus 0.5 plus 1 equals 2 implies x sub 1 plus 1.5 equals 2 implies x sub 1 equals 0.5$

Ответ: $x_{1} = 0.5 x sub 1 equals 0.5$ , $x_{2} = 1 / 3 x sub 2 equals 1 / 3$ , $x_{3} = -0.5 x sub 3 equals negative 0.5$ , $x_{4} = 0.25 x sub 4 equals 0.25$ Хотите выполнить проверку полученного решения путем подстановки значений в исходные уравнения?

Исследовать систему на совместность методом гаусса, если система совместна, то найти ее решение х1+3х2+х3+4х4=2 2х1-3х2+2х3+8х4=1 4х1+3х2+4х3-4х4=0 х1+6х2-х3+12х4=6

Форма ответа

Другие вопросы по теме «Математика»

Вопросы из других предметов