Y=(x+3)в квадрате(x+5)-1 найти точку минимума

Для нахождения точки минимума функции $y=(x+3{)}^2(x+5)-1$ воспользуемся алгоритмом исследования функции с помощью производной. 1. Раскрытие скобок и упрощение функции Для удобства дифференцирования сначала раскроем квадрат суммы, а затем перемножим скобки:

1. $(x+3{)}^2=x^2+6x+9$ $y=(x^2+6x+9)(x+5)-1$ $y=(x^3+5x^2+6x^2+30x+9x+45)-1$ $y=x^3+11x^2+39x+44$

2. Нахождение производной Применим правило дифференцирования степенной функции: $y^{\prime }=(x^3+11x^2+39x+44{)}^{\prime }$ $y^{\prime }=3x^2+22x+39$3. Поиск критических точек Критические точки находятся там, где производная равна нулю ( $y^{\prime }=0$): $3x^2+22x+39=0$Решим квадратное уравнение через дискриминант:

• $D=b^2-4ac={22}^2-4\cdot 3\cdot 39$ $D=484-468=16$ $\sqrt{D}=4$

Находим корни:

• $x_1=\frac{-22+4}{2\cdot 3}=\frac{-18}{6}=-3$ $x_2=\frac{-22-4}{2\cdot 3}=\frac{-26}{6}=-4\frac{1}{3}\approx -4.33$

4. Определение точки минимума Чтобы определить, какая из точек является минимумом, проанализируем знаки производной на интервалах или воспользуемся второй производной. Метод интервалов для производной: Производная $y^{\prime }=3x^2+22x+39$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Она принимает отрицательные значения между корнями и положительные вне их.

• На интервале $(-\infty ;-4\frac{1}{3})$ производная $y^{\prime }>0$ (функция возрастает). На интервале $(-4\frac{1}{3};-3)$ производная $y^{\prime }<0$ (функция убывает). На интервале $(-3;+\infty )$ производная $y^{\prime }>0$ (функция возрастает).

Точка минимума — это точка, в которой производная меняет знак с минуса на плюс. Это происходит в точке $x=-3$. Ответ: Точка минимума $x=-3$. Я могу также вычислить минимальное значение функции в этой точке или построить ход решения для другого уравнения. Хотите продолжить?