1)пользуясь определением производной,найдите производную функции f(x)=3x(в квадрате) в точке х=-2.

Чтобы найти производную функции $f\left(x\right)=3x^2$ в точке $x_0=-2$ по определению, необходимо вычислить предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Значение производной функции $f\left(x\right)=3x^2$ в точке $x=-2$ равно $-12$. 1. Определение функции и приращений По определению, производная функции в точке $x_0$ вычисляется по формуле: $f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{\Delta x0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}$ Для нашей функции $f\left(x\right)=3x^2$ и точки $x_0=-2$ составим выражение для приращения функции $\Delta f$: $\Delta f=f(-2+\Delta x)-f\left(-2\right)$2. Подстановка значений в формулу Вычислим значения функции в соответствующих точках:

1. $f\left(-2\right)=3\cdot (-2{)}^2=3\cdot 4=12$ $f(-2+\Delta x)=3(-2+\Delta x{)}^2$

Раскроем скобки во втором выражении, используя формулу квадрата разности $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$: $f(-2+\Delta x)=3(4-4\Delta x+(\Delta x{)}^2)=12-12\Delta x+3(\Delta x{)}^2$3. Вычисление предела Теперь подставим полученные значения в формулу производной: $f^{\prime }\left(-2\right)=\underset{\Delta x0}{\lim }\frac{(12-12\Delta x+3(\Delta x{)}^2)-12}{\Delta x}$ Упростим числитель, взаимно уничтожив $12$ и $-12$: $f^{\prime }\left(-2\right)=\underset{\Delta x0}{\lim }\frac{-12\Delta x+3(\Delta x{)}^2}{\Delta x}$ Вынесем $\Delta x$ за скобки в числителе и сократим дробь: $f^{\prime }\left(-2\right)=\underset{\Delta x0}{\lim }\frac{\Delta x(-12+3\Delta x)}{\Delta x}=\underset{\Delta x0}{\lim }(-12+3\Delta x)$ Так как $\Delta x0$, то слагаемое $3\Delta x$ стремится к нулю: $f^{\prime }\left(-2\right)=-12+3\cdot 0=-12$ Ответ Производная функции $f\left(x\right)=3x^2$ в точке $x=-2$ равна -12. Нужно ли вам разобрать нахождение общего вида производной $f^{\prime }\left(x\right)$ для этой функции или решить аналогичный пример с тригонометрической функцией?