Исследуйте функцию и постройте ее график y=(3x^2)/(2-x) план исследования: 1. область определения функции d. 2.особые свойства функции. 3. нахождение точек пересечения графика с осями 4. нахождение промежутков монотонности. 5.нахождение локального экстремума. 6. нахождение интервалов выпуклости графика функции.

Для функции $y=\frac{3x^2}{2-x}$ областью определения является $x\in (-\infty ,2)\cup (2,\infty )$, график пересекает оси в точке $(0,0)$, имеет локальный минимум в $(0,0)$ и локальный максимум в $(4,-24)$. ️ Шаг 1: Область определения и особые свойства Функция представляет собой дробно-рациональное выражение. Знаменатель не может быть равен нулю: $2-x\ne 0x\ne 2$. Таким образом, область определения: $D\left(y\right)=(-\infty ,2)\cup (2,\infty )$. Для проверки на четность вычислим $f(-x)$: $f(-x)=\frac{3(-x{)}^2}{2-(-x)}=\frac{3x^2}{2+x}$ . Так как $f(-x)\ne f\left(x\right)$ и $f(-x)\ne -f\left(x\right)$, функция является ни четной, ни нечетной (общего вида). Функция непериодична. ️ Шаг 2: Точки пересечения с осями Пересечение с осью $Ox$ ( $y=0$): $\frac{3x^2}{2-x}=03x^2=0x=0$ . Пересечение с осью $Oy$ ( $x=0$): $y=\frac{3\cdot 0^2}{2-0}=0$ . Единственная точка пересечения с осями координат — $(0,0)$. ️ Шаг 3: Монотонность и экстремумы Найдем производную функции по правилу дифференцирования дроби: $y^{\prime }=\frac{\left(3x^2{)}^{\prime }\right(2-x)-3x^2(2-x{)}^{\prime }}{(2-x{)}^2}=\frac{6x(2-x)-3x^2\left(-1\right)}{(2-x{)}^2}=\frac{12x-6x^2+3x^2}{(2-x{)}^2}=\frac{3x(4-x)}{(2-x{)}^2}$ Критические точки: $x=0$ и $x=4$. Точка $x=2$ — точка разрыва. Определим знаки $y^{\prime }$ на интервалах:

1. $(-\infty ,0)$: $y^{\prime }<0$ — функция убывает. $(0,2)$: $y^{\prime }>0$ — функция возрастает. $(2,4)$: $y^{\prime }>0$ — функция возрастает. $(4,\infty )$: $y^{\prime }<0$ — функция убывает.
   Точка $x=0$ — точка минимума ( $y\left(0\right)=0$). Точка $x=4$ — точка максимума ( $y\left(4\right)=\frac{3\cdot 16}{2-4}=-24$ ).

️ Шаг 4: Выпуклость и точки перегиба Найдем вторую производную: $y^{\prime \prime }=\frac{(12-6x)(2-x{)}^2-(12x-3x^2)\cdot 2(2-x\left)\right(-1)}{(2-x{)}^4}=\frac{(12-6x)(2-x)+2(12x-3x^2)}{(2-x{)}^3}=\frac{24}{(2-x{)}^3}$ Вторая производная не обращается в нуль, точек перегиба нет. Знаки $y^{\prime \prime }$:

1. При $x<2$: $y^{\prime \prime }>0$ — график выпукл вниз (вогнут). При $x>2$: $y^{\prime \prime }<0$ — график выпукл вверх (выпукл).

Ответ: Функция определена на $(-\infty ,2)\cup (2,\infty )$, убывает на $(-\infty ,0)\cup (4,\infty )$ и возрастает на $(0,2)\cup (2,4)$. Точки экстремума: $min(0,0)$, $max(4,-24)$. График функции имеет вертикальную асимптоту $x=2$ и наклонную асимптоту $y=-3x-6$. Нужно ли вам рассчитать координаты дополнительных точек для более точного построения графика?