Решите уравнение: log(16,x)+log(4,x)+log(2,x)=7

Для решения уравнения ${\log }_{16}x+{\log }_{4}x+{\log }_{2}x=7$ необходимо привести все логарифмы к одному основанию. Удобнее всего использовать основание $2$. 1. Приведение к основанию 2 Воспользуемся формулой перехода к новому основанию: ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$ .

• Для первого слагаемого:
  ${\log }_{16}x=\frac{{\log }_{2}x}{{\log }_{2}16}=\frac{{\log }_{2}x}{4}$ Для второго слагаемого:
  ${\log }_{4}x=\frac{{\log }_{2}x}{{\log }_{2}4}=\frac{{\log }_{2}x}{2}$

2. Подстановка и упрощение Подставим полученные выражения в исходное уравнение: $\frac{{\log }_{2}x}{4}+\frac{{\log }_{2}x}{2}+{\log }_{2}x=7$ Приведем все слагаемые к общему знаменателю $4$: $\frac{{\log }_{2}x+2{\log }_{2}x+4{\log }_{2}x}{4}=7$ Сложим коэффициенты в числителе: $\frac{7{\log }_{2}x}{4}=7$ 3. Нахождение ${\log }_{2}x$ Разделим обе части уравнения на $7$: $\frac{{\log }_{2}x}{4}=1$ Умножим обе части на $4$: ${\log }_{2}x=4$4. Вычисление x По определению логарифма: $x=2^4$ $x=16$Проверка

• ${\log }_{16}16=1$ ${\log }_{4}16=2$ ${\log }_{2}16=4$ $1+2+4=7$ (Верно)

Ответ: $16$ Хотите, чтобы я решил похожую задачу с другими основаниями или объяснил свойства логарифмов подробнее?