Сколько раз в сутки часовая и минутная стрелки образуют прямой угол?

Стрелки часов образуют прямой угол ( ${90}^{\circ }$) 44 раза в сутки. Ниже представлен подробный разбор того, почему это происходит именно так, а не 48 раз (как могло бы показаться на первый взгляд). Математическое обоснование Чтобы понять частоту встреч, нужно рассмотреть относительную скорость стрелок:

• Минутная стрелка движется со скоростью ${360}^{\circ }$ за 60 минут ( $6^{\circ }$ в минуту). Часовая стрелка движется со скоростью ${360}^{\circ }$ за 12 часов или $0,5^{\circ }$ в минуту. Относительная скорость составляет $6-0,5=5,5^{\circ }$ в минуту.

Для образования прямого угла минутная стрелка должна либо опережать часовую на ${90}^{\circ }$, либо отставать от нее на ${270}^{\circ }$ (что по сути одно и то же положение в цикле). Почему не 48 раз? В обычном двенадцатичасовом цикле стрелки проходят через положение ${90}^{\circ }$ дважды в час. Однако за 12 часов это происходит не 24, а 22 раза. Это связано с тем, что в моменты около 3 и 9 часов условия меняются:

1. Интервал между 2 и 4 часами: Вместо ожидаемых 4 раз стрелки образуют прямой угол только 3 раза. Один из этих моментов приходится ровно на 3:00, который является общим для обоих часов.
2. Интервал между 8 и 10 часами: Аналогично, вместо 4 раз углы образуются только 3 раза, так как один из них — ровно в 9:00.

Итоговый расчет

• За 12 часов: $12\times 2-2=22$ раза. За 24 часа (сутки): $22\times 2=44$ раза.

Список временных промежутков (приблизительно) Для наглядности, в первом двенадцатичасовом цикле (AM) моменты прямого угла наступают примерно в следующие периоды:

Примечание: В периоды 2–4 и 8–10 часов происходит "потеря" одного совмещения из-за того, что моменты 3:00 и 9:00 поглощают второе и первое срабатывание соседних часов соответственно.

Я могу рассчитать точное время каждого из 44 моментов с точностью до секунды, если это необходимо. Хотите, чтобы я составил такую таблицу?