Как найти стороны прямоугольника если известна диагональ и периметр

Чтобы найти стороны прямоугольника, зная его диагональ ( $d$) и периметр ( $P$), необходимо составить и решить систему уравнений, основанную на геометрических свойствах фигуры. 1. Формулы и исходные данные Пусть $a$ и $b$ — искомые стороны прямоугольника. Нам известны:

• Периметр: $P=2(a+b)$ Диагональ: По теореме Пифагора $d^2=a^2+b^2$

2. Пошаговый алгоритм решения Шаг 1: Выражение суммы сторон Из формулы периметра находим сумму двух смежных сторон: $a+b=\frac{P}{2}$ Шаг 2: Возведение суммы в квадрат Возведем обе части полученного уравнения в квадрат, чтобы связать сумму сторон с диагональю: $(a+b{)}^2={\left(\frac{P}{2}\right)}^2$ $a^2+2ab+b^2=\frac{P^2}{4}$ Шаг 3: Нахождение площади ( $ab$) Мы знаем, что $a^2+b^2=d^2$. Подставим это значение в уравнение из предыдущего шага: $d^2+2ab=\frac{P^2}{4}$ Отсюда выражаем удвоенное произведение сторон: $2ab=\frac{P^2}{4}-d^2$ Следовательно, площадь $S=ab$ равна: $ab=\frac{\frac{P^2}{4}-d^2}{2}$ Шаг 4: Составление квадратного уравнения Теперь у нас есть сумма сторон ( $a+b$) и их произведение ( $ab$). Согласно обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения: $x^2-(a+b)x+ab=0$Подставив наши значения, получаем: $x^2-\left(\frac{P}{2}\right)x+\left(\frac{P^2/4-d^2}{2}\right)=0$ 3. Пример расчета Допустим, периметр P = 28 см, а диагональ d = 10 см.

1. Находим сумму сторон: $a+b=28/2=14$. Находим площадь:
   $ab=\frac{{14}^2-{10}^2}{2}=\frac{196-100}{2}=\frac{96}{2}=48$ Составляем уравнение: $x^2-14x+48=0$. Решаем через дискриминант или подбором:
   • $x_1=8$ $x_2=6$

Ответ: Стороны прямоугольника равны 8 см и 6 см. Итоговые формулы для вычислений Если вы хотите найти стороны без составления полного уравнения, используйте эти выражения:

Я могу составить для вас таблицу с готовыми расчетами, если вы предоставите конкретные значения периметра и диагонали.