2cos^2 x\2-cos x\2-1=0

Для решения уравнения $2{\cos }^2\frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2}-1=0$ воспользуемся методом введения новой переменной. 1. Замена переменной Пусть $\cos \frac{x}{2}=t$ . Так как область значений функции косинуса лежит в отрезке $[-1,1]$, то необходимо соблюдение условия $\left|t\right|\le 1$. После замены получаем квадратное уравнение: $2t^2-t-1=0$2. Решение квадратного уравнения Найдем дискриминант по формуле $D=b^2-4ac$: $D=(-1{)}^2-4\cdot 2\cdot (-1)=1+8=9$Находим корни уравнения $t_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$ :

• $t_1=\frac{1+3}{4}=\frac{4}{4}=1$ $t_2=\frac{1-3}{4}=-\frac{2}{4}=-0.5$

Оба корня удовлетворяют условию $\left|t\right|\le 1$. 3. Обратная замена Теперь решим два тригонометрических уравнения относительно $x$. Случай 1: $\cos \frac{x}{2}=1$ Это частный случай. Косинус равен единице в точках $2\pi n$. $\frac{x}{2}=2\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Умножаем обе части на 2: $x_1=4\pi n,n\in \mathbb{Z}$Случай 2: $\cos \frac{x}{2}=-0.5$ Воспользуемся общей формулой $\alpha =\pm \arccos \left(a\right)+2\pi k$: $\frac{x}{2}=\pm \arccos \left(-0.5\right)+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ $\frac{x}{2}=\pm (\pi -\frac{\pi }{3})+2\pi k$ $\frac{x}{2}=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k$ Умножаем обе части на 2: $x_2=\pm \frac{4\pi }{3}+4\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Ответ:

• $x=4\pi n$ $x=\pm \frac{4\pi }{3}+4\pi k$
  Где $n,k$ — любые целые числа ( $\mathbb{Z}$).

Могу ли я помочь вам с отбором корней этого уравнения на определенном промежутке?