Log2 (6-x^2)=log2 5x

Для решения уравнения ${\log }_2(6-x^2)={\log }_2\left(5x\right)$ необходимо выполнить несколько последовательных шагов: определение области допустимых значений (ОДЗ), приравнивание аргументов логарифмов и проверку корней. 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:

1. $6-x^2>0⟹x^2<6⟹-\sqrt{6}<x<\sqrt{6}$ $5x>0⟹x>0$

Пересекая эти условия, получаем интервал для допустимых значений $x$: $x\in (0,\sqrt{6})$ (Учитывая, что $\sqrt{6}\approx 2.45$ ) 2. Решение уравнения Так как основания логарифмов одинаковы, мы можем приравнять их аргументы: $6-x^2=5x$Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $x^2+5x-6=0$Для решения воспользуемся теоремой Виета или дискриминантом. Поиск корней через дискриминант ( $D$): $D=b^2-4ac=5^2-4\cdot 1\cdot \left(-6\right)=25+24=49$ $x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-5\pm 7}{2}$ Получаем два потенциальных корня:

• $x_1=\frac{-5+7}{2}=\frac{2}{2}=1$ $x_2=\frac{-5-7}{2}=\frac{-12}{2}=-6$

3. Проверка корней по ОДЗ Теперь сопоставим полученные значения с условием $x\in (0,\sqrt{6})$ :

• $x_1=1$: Входит в интервал $(0,\sqrt{6})$ . Это валидный корень. $x_2=-6$: Не входит в интервал (так как $-6<0$). Логарифм от отрицательного числа не определен. Это посторонний корень.

Ответ: $x=1$ Я могу также помочь вам с решением других логарифмических уравнений или систем неравенств, если это необходимо.