Log2(8+3x)=log2(3-x)+1

Для решения уравнения ${\log }_2(8+3x)={\log }_2(3-x)+1$ воспользуемся свойствами логарифмов и определением области допустимых значений (ОДЗ). 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:

1. $8+3x>0⟹3x>-8⟹x>-\frac{8}{3}\approx -2.67$ $3-x>0⟹x<3$

ОДЗ: $x\in (-2.67;3)$ 2. Преобразование уравнения Представим единицу в правой части уравнения в виде логарифма по основанию 2: $1={\log }_2\left(2\right)$Теперь подставим это в исходное уравнение: ${\log }_2(8+3x)={\log }_2(3-x)+{\log }_2\left(2\right)$Используем свойство суммы логарифмов ( ${\log }_a\left(b\right)+{\log }_a\left(c\right)={\log }_a(b\cdot c)$): ${\log }_2(8+3x)={\log }_2(2\cdot (3-x\left)\right)$3. Решение линейного уравнения Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы: $8+3x=2(3-x)$Раскроем скобки: $8+3x=6-2x$Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числа — в правую: $3x+2x=6-8$ $5x=-2$ $x=-\frac{2}{5}$ $x=-0.4$4. Проверка и ответ Число $-0.4$ входит в область допустимых значений ( $x\in (-2.67;3)$). Проверка подстановкой:

• ${\log }_2(8+3(-0.4\left)\right)={\log }_2\left(6.8\right)$ ${\log }_2(3-(-0.4\left)\right)+1={\log }_2\left(3.4\right)+1={\log }_2(3.4\cdot 2)={\log }_2\left(6.8\right)$
  Равенство верно.

Ответ: $x=-0.4$ Могу решить еще одно логарифмическое уравнение или помочь с другой математической задачей.