Найдите лог по основанию 6 числа 16 если лог по основанию 12 числа 27 равно а

Для решения данной задачи воспользуемся методами перехода к новому основанию и свойствами логарифмов. 1. Анализ условия Дано: ${\log }_{12}27=a$Нужно найти: ${\log }_{6}16$2. Преобразование данного значения $a$ Разложим числа 12 и 27 на простые множители: $12=2^2\cdot 3$ и $27=3^3$. $a={\log }_{12}{3}^3=3{\log }_{12}3$Выразим ${\log }_{12}3$ через $a$: ${\log }_{12}3=\frac{a}{3}$ Перевернем логарифм, чтобы перейти к основанию 3: ${\log }_{3}12=\frac{3}{a}$ ${\log }_3(2^2\cdot 3)=\frac{3}{a}$ $2{\log }_{3}2+1=\frac{3}{a}$ Теперь выразим ${\log }_{3}2$: $2{\log }_{3}2=\frac{3}{a}-1=\frac{3-a}{a}$ ${\log }_{3}2=\frac{3-a}{2a}$ Следовательно, обратное значение: ${\log }_{2}3=\frac{2a}{3-a}$ 3. Вычисление искомого значения Преобразуем ${\log }_{6}16$, используя переход к основанию 2: ${\log }_{6}16={\log }_6{2}^4=4{\log }_{6}2$Используем формулу перехода к основанию: ${\log }_{6}2=\frac{1}{{\log }_{2}6}=\frac{1}{{\log }_2(2\cdot 3)}=\frac{1}{1+{\log }_{2}3}$ Подставим полученное ранее выражение для ${\log }_{2}3$: ${\log }_{6}2=\frac{1}{1+\frac{2a}{3-a}}$ Приведем знаменатель к общему виду: $1+\frac{2a}{3-a}=\frac{3-a+2a}{3-a}=\frac{3+a}{3-a}$ Таким образом: ${\log }_{6}2=\frac{3-a}{3+a}$ Итоговое значение: ${\log }_{6}16=4\cdot \frac{3-a}{3+a}=\frac{12-4a}{3+a}$ Ответ: ${\log }_{6}16=\frac{12-4a}{3+a}$ Я могу помочь вам с решением других логарифмических уравнений или задач по алгебре. Хотите разобрать еще один пример?