Log2(x-1)=2-log2(x+2)

Для решения уравнения ${\log }_2(x-1)=2-{\log }_2(x+2)$ необходимо выполнить следующие шаги: 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

• $x-1>0x>1$ $x+2>0x>-2$

Общее ОДЗ: $x\in (1;+\infty )$. 2. Преобразование уравнения Перенесем логарифмы в одну сторону: ${\log }_2(x-1)+{\log }_2(x+2)=2$Используем свойство суммы логарифмов ${\log }_a\left(b\right)+{\log }_a\left(c\right)={\log }_a(b\cdot c)$: ${\log }_2\left(\right(x-1\left)\right(x+2\left)\right)=2$3. Переход к квадратному уравнению По определению логарифма ( $2^2=4$): $(x-1)(x+2)=4$Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду: $x^2+2x-x-2=4$ $x^2+x-2-4=0$ $x^2+x-6=0$4. Решение квадратного уравнения Воспользуемся теоремой Виета или формулой дискриминанта: $D=b^2-4ac=1^2-4\cdot 1\cdot \left(-6\right)=1+24=25$Находим корни: $x_1=\frac{-1+\sqrt{25}}{2}=\frac{-1+5}{2}=2$ $x_2=\frac{-1-5}{2}=\frac{-6}{2}=-3$ 5. Проверка корней по ОДЗ

• $x_1=2$: входит в интервал $(1;+\infty )$. Подходит. $x_2=-3$: не входит в интервал $(1;+\infty )$ (так как $-3<1$). Посторонний корень.

Ответ: $x=2$ Могу составить для вас аналогичное задание для закрепления материала или разобрать более сложный пример с логарифмами.