Log2(x+2)=log2(x^2+x-7)

Для решения уравнения ${\log }_2(x+2)={\log }_2(x^2+x-7)$ необходимо приравнять выражения, стоящие под знаком логарифма, и учесть область допустимых значений (ОДЗ). 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Аргумент логарифма всегда должен быть строго больше нуля:

1. $x+2>0⟹x>-2$ $x^2+x-7>0$

2. Решение уравнения Так как основания логарифмов равны, мы можем перейти к равенству аргументов: $x+2=x^2+x-7$Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $x^2+x-x-7-2=0$ $x^2-9=0$Решим полученное неполное квадратное уравнение: $x^2=9$ $x_1=3$ $x_2=-3$3. Проверка корней по ОДЗ Проверим, удовлетворяют ли найденные значения условию, что выражения под логарифмом положительны.

• Для $x_1=3$:
  • $3+2=5$ ( $5>0$ — верно) $3^2+3-7=9+3-7=5$ ( $5>0$ — верно)
    Корень $x=3$ подходит.
• Для $x_2=-3$:
  • $-3+2=-1$ ( $-1<0$ — неверно)
    Корень $x=-3$ не подходит, так как логарифм отрицательного числа не определен.

Ответ: x = 3 Я могу помочь вам решить аналогичные логарифмические уравнения или разобрать систему уравнений. Хотите, чтобы я подобрал еще несколько примеров для закрепления темы?